Pos Ebook Tex Tentang Saya

Daftar Isi

Daftar Isi

Persamaan Kuadrat

Aan Triono avatarAan Triono   di Kelas 9
     798 kata   4 menit 
Materi persamaan kuadrat kelas 9 SMP yang membahas bentuk umum, jenis, akar-akar persamaan, faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat.

Persamaan kuadrat

Perhatikan permasalahan berikut.

Sebuah dinding kamar mandi berbentuk persegi panjang akan ditutup dengan keramik persegi agar terlihat lebih indah dan bersih. Panjang dinding 5 keramik lebih besar daripada lebarnya. Jika banyak keramik yang diperlukan untuk menutup dinding tersebut adalah 300 buah, tentukan panjang dindingnya. Luas satu keramik dianggap 1 satuan luas.

Permasalahan seperti ini dapat dimodelkan dengan persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi dua.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax2+bx+c=0 ax^2+bx+c=0

dengan:

  • aa, bb, dan cc bilangan real,
  • aa koefisien x2x^2,
  • bb koefisien xx,
  • cc konstanta,
  • a≠0a \neq 0.

Perhatikan contoh berikut.

  1. 2x2−6x+5=02x^2-6x+5=0
  2. x2−4=0x^2-4=0
  3. x2−9x=0x^2-9x=0

Penjelasannya sebagai berikut.

  1. Persamaan 2x2−6x+5=02x^2-6x+5=0 mempunyai a=2a=2, b=−6b=-6, dan c=5c=5. Karena semua koefisien ada dan tidak nol, persamaan ini disebut persamaan kuadrat asli.
  2. Persamaan x2−4=0x^2-4=0 mempunyai a=1a=1, b=0b=0, dan c=−4c=-4. Karena tidak mempunyai suku xx, persamaan ini disebut persamaan kuadrat murni.
  3. Persamaan x2−9x=0x^2-9x=0 mempunyai a=1a=1, b=−9b=-9, dan c=0c=0. Karena konstantanya nol, persamaan ini disebut persamaan kuadrat tak lengkap.

Ada pula persamaan yang belum ditulis dalam bentuk umum, misalnya:

  1. x2+7x=−10x^2+7x=-10
  2. 1x+1x−1=32\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{3}{2}

Persamaan seperti ini masih bisa diubah ke bentuk umum persamaan kuadrat dengan operasi aljabar.

Nyatakan persamaan 2x2=3x+202x^2=3x+20 ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat, lalu tentukan nilai aa, bb, dan cc.

2x2=3x+202x2−3x=202x2−3x−20=0 \begin{aligned} 2x^2 &= 3x+20 \\ 2x^2-3x &= 20 \\ 2x^2-3x-20 &= 0 \end{aligned}

Jadi:

  • a=2a=2
  • b=−3b=-3
  • c=−20c=-20

Nilai pengganti xx yang membuat persamaan kuadrat bernilai benar disebut akar atau penyelesaian persamaan kuadrat.

Secara umum, akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan:

  1. faktorisasi,
  2. melengkapkan kuadrat sempurna,
  3. rumus kuadrat.

Faktorisasi adalah mengubah bentuk penjumlahan suku-suku aljabar menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan memfaktorkan persamaan kuadrat hingga diperoleh faktor-faktor linear.

Tentukan akar-akar persamaan:

4x2−25=0 4x^2-25=0

Penyelesaian:

4x2−25=0(2x)2−52=0(2x−5)(2x+5)=0 \begin{aligned} 4x^2-25 &= 0 \\ (2x)^2-5^2 &= 0 \\ (2x-5)(2x+5) &= 0 \end{aligned}

Maka:

2x−5=0atau2x+5=02x=5atau2x=−5x=52ataux=−52 \begin{aligned} 2x-5 &= 0 \quad \text{atau} \quad 2x+5=0 \\ 2x &= 5 \quad \text{atau} \quad 2x=-5 \\ x &= \frac{5}{2} \quad \text{atau} \quad x=-\frac{5}{2} \end{aligned}

Jadi, akar-akarnya adalah:

x=52ataux=−52 x=\frac{5}{2} \quad \text{atau} \quad x=-\frac{5}{2}

Tentukan himpunan penyelesaian:

3x2−7x=0 3x^2-7x=0

Penyelesaian:

3x2−7x=0x(3x−7)=0 \begin{aligned} 3x^2-7x &= 0 \\ x(3x-7) &= 0 \end{aligned}

Maka:

x=0atau3x−7=0x=0atau3x=7x=0ataux=73 \begin{aligned} x &= 0 \quad \text{atau} \quad 3x-7=0 \\ x &= 0 \quad \text{atau} \quad 3x=7 \\ x &= 0 \quad \text{atau} \quad x=\frac{7}{3} \end{aligned}

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

{0,73} \left\{0,\frac{7}{3}\right\}

Tentukan akar-akar persamaan:

x2−7x+10=0 x^2-7x+10=0

Carilah dua bilangan yang jumlahnya −7-7 dan hasil kalinya 1010, yaitu −5-5 dan −2-2.

x2−7x+10=0(x−5)(x−2)=0 \begin{aligned} x^2-7x+10 &= 0 \\ (x-5)(x-2) &= 0 \end{aligned}

Maka:

x−5=0ataux−2=0x=5ataux=2 \begin{aligned} x-5 &= 0 \quad \text{atau} \quad x-2=0 \\ x &= 5 \quad \text{atau} \quad x=2 \end{aligned}

Jadi, akar-akarnya adalah:

x=5ataux=2 x=5 \quad \text{atau} \quad x=2
  1. Fungsi Kuadrat
  2. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
  3. Penilaian Persamaan Kuadrat

Tidak semua persamaan kuadrat mudah diselesaikan dengan faktorisasi. Salah satu cara lain adalah melengkapkan kuadrat sempurna.

Langkah-langkahnya:

  1. pastikan koefisien x2x^2 adalah 1,
  2. pindahkan konstanta ke ruas kanan jika perlu,
  3. tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien xx,
  4. ubah ke bentuk kuadrat sempurna,
  5. selesaikan dengan aturan akar kuadrat.

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

x2−6x+8=0 x^2-6x+8=0

Penyelesaian:

x2−6x+8=0  ⟺  x2−6x=−8 x^2-6x+8=0 \iff x^2-6x=-8

Setengah koefisien xx adalah:

−62=−3 \frac{-6}{2}=-3

Kuadratnya:

(−3)2=9 (-3)^2=9

Tambahkan kedua ruas dengan 9:

x2−6x=−8x2−6x+9=−8+9(x−3)2=1 \begin{aligned} x^2-6x &= -8 \\ x^2-6x+9 &= -8+9 \\ (x-3)^2 &= 1 \end{aligned}

Sehingga:

x−3=±1x=3±1 \begin{aligned} x-3 &= \pm 1 \\ x &= 3 \pm 1 \end{aligned}

Maka:

x=4ataux=2 x=4 \quad \text{atau} \quad x=2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

{2,4} \{2,4\}

Selain dengan faktorisasi dan kuadrat sempurna, persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc:

x1,2=−b±b2−4ac2a x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Rumus ini diperoleh dari penurunan berikut.

ax2+bx+c=0ax2+bx=−cx2+bax=−ca \begin{aligned} ax^2+bx+c &= 0 \\ ax^2+bx &= -c \\ x^2+\frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a} \end{aligned}

Kedua ruas ditambah dengan:

(12⋅ba)2=(b2a)2 \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2

Sehingga diperoleh:

x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2(x+b2a)2=−ca+b24a2(x+b2a)2=−4ac+b24a2(x+b2a)2=b2−4ac4a2x+b2a=±b2−4ac4a2x=−b2a±b2−4ac4a2x=−b±b2−4ac2a \begin{aligned} x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= -\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{-4ac+b^2}{4a^2} \\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x+\frac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x &= -\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned}

Nilai b2−4acb^2-4ac disebut diskriminan dan biasanya dilambangkan dengan DD.

Tentukan akar-akar persamaan:

x2−x−6=0 x^2-x-6=0

Diketahui:

  • a=1a=1
  • b=−1b=-1
  • c=−6c=-6

Gunakan rumus kuadrat:

x=−b±b2−4ac2ax=−(−1)±(−1)2−4(1)(−6)2(1)x=1±1+242x=1±252x=1±52 \begin{aligned} x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x &= \frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(1)(-6)}}{2(1)} \\ x &= \frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2} \\ x &= \frac{1\pm\sqrt{25}}{2} \\ x &= \frac{1\pm 5}{2} \end{aligned}

Maka:

x1=1+52=3x2=1−52=−2 \begin{aligned} x_1 &= \frac{1+5}{2}=3 \\ x_2 &= \frac{1-5}{2}=-2 \end{aligned}

Jadi, akar-akarnya adalah:

x=3danx=−2 x=3 \quad \text{dan} \quad x=-2

Setelah mempelajari materi ini, lakukan evaluasi mandiri dengan langkah berikut.

  1. klik tombol Start Quiz,
  2. pilih jawaban yang benar,
  3. klik Next untuk soal berikutnya,
  4. klik Prev untuk kembali ke soal sebelumnya,
  5. klik Reset untuk mengulang dari awal,
  6. klik Submit setelah semua soal selesai,
  7. lihat skor di bagian bawah,
  8. nilai diperoleh dari total skor dibagi skor maksimal lalu dikalikan 100.

Demikian materi persamaan kuadrat untuk kelas IX SMP/MTs semester 1. Jika ada kesalahan, silakan koreksi melalui kolom komentar.

Materi persamaan kuadrat kelas 9 SMP yang membahas bentuk umum, jenis, akar-akar persamaan, faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Materi persamaan kuadrat kelas 9 SMP yang membahas bentuk umum, jenis, akar-akar persamaan, faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat.

Bola

Materi persamaan kuadrat kelas 9 SMP yang membahas bentuk umum, jenis, akar-akar persamaan, faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat.

Fungsi Diskriminan

Materi persamaan kuadrat kelas 9 SMP yang membahas bentuk umum, jenis, akar-akar persamaan, faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat.

Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Materi persamaan kuadrat kelas 9 SMP yang membahas bentuk umum, jenis, akar-akar persamaan, faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat.

Materi Matematika Kelas IX SMP/MTS

Diperbarui pada 2026-08-08
 Materi Kelas 9
 | Beranda