Pos Tex Label Kategori Tentang Saya

Daftar Isi

Daftar Isi

Persamaan Kuadrat

Aan Triono avatarAan Triono   di Kelas 9
     67 kata   1 menit 
Materi Persamaan Kuadrat kelas 9 SMP, Mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus kuadrat

Persamaan Kuadrat dapat diselesaikan dengan tiga cara yaitu pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus abc

Perhatikan permasalahan berikut. Di suatu rumah, sebuah kamar mandi ditutup dengan keramik agar terlihat lebih indah dan bersih. Dinding kamar mandi tersebut berbentuk persegi panjang yang akan ditutup dengan keramik persegi. Panjang dinding adalah 5 keramik lebihnya dari lebar dinding. Jika keramik yang diperlukan untuk menutup dinding kamar mandi tersebut 300 keramik, tentukan panjang dinding tersebut (luas satu buah keramik dianggap 1 satuan ).

persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang mengandung variabel dengan pangkat tertinggi dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \( a, b, c\) bilangan real, \(a\) adalah koefisien \(x^2\) , \(b\) adalah koefisien \(x\) dan \(c\) adalah konstanta serta \(a\neq 0\) .

Perhatikan contoh-contoh berikut ini.

  1. 2x2−6x+5=02x^2-6x+5=0
  2. x2−4=0x^2-4=0
  3. x2−9x=0x^2-9x=0

Persamaan 2x2−6x+5=02x^2-6x+5=0 adalah persamaan kuadrat dengan a=2,b=−6a=2, b=-6, dan c=5c=5. Jika dibandingkan dengan bentuk umum persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut persamaan kuadrat asli karena semua unsurnya ada, yaitu a,b,ca, b, c tidak sama dengan nol.

Persamaan x2−4=0x^2-4=0 adalah persamaan kuadrat dengan a=1,b=0,c=−4a=1, b=0, c=-4. Jika dibandingkan dengan bentuk persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut persamaan kuadrat murni karena stidak mempunyai suku x(b=0)x(b=0).

Persamaan x2−9x=0x^2-9x=0 adalah persamaan kuadrat dengan a=1,b=−9,c=0a=1, b=-9, c=0. Jika dibandingkan dengan bentuk umum persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut persamaan kuadrat tak lengkap karena konstanta pada persamaan itu adalah 0 (c=0).

Selain bentuk persamaan kuadrat di atas, ada beberapa persamaan kuadrat yang tidak disajikan dalam bentuk umum, misalanya :

1. x2+7x=−101.\ x^2+7x=-10

2. 1x+1x−1=322.\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{3}{2}

Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat dengan operasi alajabar tertentu.

Contoh.

Nyatakan persamaan 2x2=3x+202x^2=3x+20 ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai a,b,dan ca, b,\text {dan}\ c. Klik tombol Show all untuk melihat jawaban.

Jawab :
\(\begin{array}{rcl} 2x^2&= &3x+20 \\ 2x^2-3x&= &3x-3x+20\ (\text{kedua\ ruas\ dikurangi\ 3\(x\))} \\ 2x^2-3x &= &20 \\2x^2-3x-20&= &20-20\ (\text {kedua\ ruas\ dikurangi\ 20)}\\2x^2-3x-20&=&0 \end{array}\) Jadi nilai \(a=2, b=-3, c=-20\)

<span face=““verdana” , sans-serif”>

Perhatikan kembali bentuk umum persamaan kuadrat. Nilai pengganti \(x\) yang menyebabkan pernyataan menjadi benar (ruas kiri sama dengan ruas kanan) disebut akar atau penyelesaian dari persamaan tersebut. Ada tiga cara untuk mencari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat, yaitu dengan cara :

<span face=““verdana” , sans-serif”>

<span face=““verdana” , sans-serif”>Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar ini menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat.

<span face=““verdana” , sans-serif”>Contoh.

<span face=““verdana” , sans-serif”>1. Tentukan akar-akar persamaan 4x2−25=04x^2-25=0 Jawab

4x2−25=0(2x)2−52=0(2x−5)(2x+5)=02x−5=0 atau 2x+5=02x=0 atau 2x=−5x=52 atau x=−52\begin{array}{rcl} 4x^2-25& = & 0 \\ (2x)^2-5^2& = & 0 \\ (2x-5)(2x+5) & = & 0 \\2x-5& = & 0\ \text{atau}\ 2x+5=0\\2x&=&0\ \text{atau}\ 2x=-5\\x&=&\dfrac{5}{2}\ \text{atau}\ x=-\dfrac{5}{2} \end{array}

Jadi, akar-akar persamaan 4x2−25=04x^2-25=0 adalah x=52x=\dfrac{5}{2} atau x=−52x=-\dfrac{5}{2}.

  1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 3x2−7x=03x^2-7x=0 Jawab

3x2−7x=0x(3x−7)=0x=0 atau 3x−7=0x=0 atau 3x=7x=0 atau x=73\begin{array}{rcl} 3x^2-7x& = & 0 \\ x (3x-7)& = & 0 \\ x & = & 0\ \text{atau}\ 3x - 7=0 \\x& = & 0\ \text{atau}\ 3x = 7\\x&=&0\ \text{atau}\ x=\dfrac{7}{3} \end{array}

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan 3x2−7x=03x^2-7x=0 adalah {0, 73\dfrac{7}{3}}

  1. Tentukan akar-akar persamaan x2−7x+10=0x^2-7x+10=0 Jawab

Untuk menentukan akar-akar persamaan x2−7x+10=0x^2-7x+10=0, terlebih dahulu dicari dua bilangan yang jumlahnya -7 dan hasil kalinya 10. Kedua bilangan itu adalah -5 dan -2, sehingga diperoleh.

x2−7x+10=0(x−5)(x−2)=0x−5=0 atau x−2=0x=5 atau x=2\begin{array}{rcl} x^2-7x+10& = & 0 \\ (x-5)(x-2)& = & 0 \\ x -5& = & 0\ \text{atau}\ x - 2=0 \\x& = & 5\ \text{atau}\ x = 2\end{array}

Jadi, akar-akar persamaan x2−7x+10=0x^2-7x+10=0 adalah x=5 atau x=2x=5\ \text{atau}\ x=2.

Baca juga :

<span face=““verdana” , sans-serif”>Tidak semua persamaan kuadrat bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi, cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode dengan mengubah bentuk umum menjadi bentuk kuadrat sempurna. Untuk dapat menentukan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Pastikan bahwa koefisien \(x^2\) adalah 1. Jika koefisien \(x^2\neq1\), buatlah koefisiennya menjadi 1 dengan cara membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien dari \(x^2\).
  2. Jika perlu, tambah/kurangkan kedua ruas dengan suatu bilangan agar konstanta hanya di ruas sebelah kanan.
  3. Melengkapkan kuadrat : menambah kedua ruas dengan kuadrat dari setengah nilai koefisien x.
  4. Faktorkan persamaan kuadrat.
  5. Selesaikan dengan menggunakan aturan akar kuadrat.
Contoh.

Dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2−6x+8=0x^2-6x+8=0

Jawab. x2−6x+8=0  ⟺  x2−6x=−8x^2-6x+8=0 \iff x^2-6x=-8

Agar bentuk x2−6xx^2-6x menjadi bentuk kuadrat sempurna, kedua ruas harus ditambahkan dengan kuadrat setengah koefisien xx, yaitu (12(−6))2=9(\dfrac{1}{2}(-6))^2=9, sehingga persamaan menjadi berikut.

x2−6x=−8x2−6x+9=−8+9(x−3)2=1x−3=±1x−3=±1x−3=1 atau x−3=−1x=4 atau x=2\begin{array}{rcl} x^2-6x& = & -8 \\ x^2-6x+9& = & -8+9 \\ (x-3)^2 & = & 1 \\x-3& = & \pm \sqrt{1}\\x-3&=&\pm 1\\ x-3&=&1\ \text{atau}\ x-3=-1\\x&=&4\ \text{atau}\ x=2 \end{array}

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4}

<span face=““verdana” , sans-serif”>

<span face=““verdana” , sans-serif”>Selain menggunakan faktorisasi dan dengan melengkapi kuadrat sempurna, persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat atau biasa dikenal dengan rumus abc yaitu :

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

<span face=““verdana” , sans-serif”>Darimana rumus tersebut berasal? Perhatikan uraian berikut.

<span face=““verdana” , sans-serif”>ax2+bx+c=0ax2+bx=−cx2+bax=−ca\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\\ax^2+bx&=&-c\\x^2+\dfrac{b}{a}x&=&-\dfrac{c}{a}\end{array}

<span face=““verdana” , sans-serif”>Kedua ruas ditambah dengan (12×ba)2\dfrac{1}{2}\times \dfrac{b}{a})^2 sehingga diperoleh :

<span face=““verdana” , sans-serif”>

<span face=““verdana” , sans-serif”>

  \(\begin{array}{rcl}x^2+\dfrac{b}{a}x+(\dfrac{b}{2a})^2&=&-\dfrac{c}{a}+(\dfrac{b}{2a}^2\\[12pt](\dfrac{b}{2a})^2&=&\dfrac{-c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}\\[12pt](x+\dfrac{b}{2a})^2&=&\dfrac{-4ac}{4a^2}+\dfrac{b^2}{4a^2}\\[12pt](x+\dfrac{b}{2a})^2&=&\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\\[12pt](x+\dfrac{b}{2a})&=&\pm
  \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[12pt]x&=&-\dfrac{b}{2a}\pm
  \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[12pt]x&=&\dfrac{-b\pm
  \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}\)

<span face=““verdana” , sans-serif”>Nilai b2−4acb^2-4ac disebut nilai diskriminan yang diberi simbol D. Perhatikan contoh soal berikut.

<span face=““verdana” , sans-serif”>Contoh.

<span face=““verdana” , sans-serif”>Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x2−x−6=0x^2-x-6=0 dengan menggunakan rumus kuadrat.

<span face=““verdana” , sans-serif”>Jawab.

<span face=““verdana” , sans-serif”>Dari persamaan kuadrat x2−x−6=0x^2-x-6=0, diperoleh a=1,b=−1,c=−6a=1, b=-1, c=-6. Sehingga akar-akar persamaan x2−x−6=0x^2-x-6=0 adalah :

<span face=““verdana” , sans-serif”>

x=−b±b2−4ac2ax=−(−1)±(−1)2−4(1)(−6)2(1)x=1±1+242x=1±252x=1±52x1=1+52x1=3x2=1−52x2=−2\begin{array}{rcl}x&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[12pt]x&=&\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(1)(-6)}}{2(1)}\\[12pt]x&=&\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}\\[12pt]x&=&\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}\\[12pt]x&=&\dfrac{1\pm5}{2}\\[12pt]x_1&=&\dfrac{1+5}{2}\\[21pt]x_1&=&3\\[12pt]x_2&=&\dfrac{1-5}{2}\\[12pt]x_2&=&-2 \end{array}

<span face=““verdana” , sans-serif”>Sebagai referensi tambahan, silakan simak video berikut :

<span face=““verdana” , sans-serif”>

<span face=““verdana” , sans-serif”>

<span face=““verdana” , sans-serif”>

Saatnya kita melakukan evaluasi terhadap materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari. Silakan kerjakan soal berikut ini dengan cara :

  1. Klik tombol Start Quiz

  2. Klik pada tombol jawaban yang benar.

  3. Klik Next untuk berpindah ke soal berikutnya.

  4. Klik Prev untuk kembali ke soal sebelumnya.

  5. Klik Reset untuk memulai kembali.

  6. Jika sudah selesai mengerjakan semua soal dan akan mengirim jawabannya, klik tombol Submit.

  7. Lihat perolehan skor yang tercantum di bagian bawah soal.

  8. Nilai yang diperoleh adalah jumlah skor dibagi skor maksimal dikalikan

<span face=““verdana” , sans-serif”>Demikian artikel tentang materi persamaan kuadrat yang diajarkan di kelas IX SMP/MTs pada semester 1 ini. Apabila ada kesalahan silakan koreksi, dan jika ada masukan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Materi Persamaan Kuadrat kelas 9 SMP, Mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus kuadrat

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Materi Persamaan Kuadrat kelas 9 SMP, Mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus kuadrat

Bola

Materi Persamaan Kuadrat kelas 9 SMP, Mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus kuadrat

Fungsi Diskriminan

Materi Persamaan Kuadrat kelas 9 SMP, Mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus kuadrat

Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Materi Persamaan Kuadrat kelas 9 SMP, Mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus kuadrat

Materi Matematika Kelas IX SMP/MTS

Diperbarui pada 2026-06-23
 Materi Kelas 9
 | Beranda