Pada materi sebelumnya tentang persamaan kuadrat dan fungsi diskriminan, kita telah mempelajari cara mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc. Akar-akar persamaan kuadrat dapat berbeda, sama, nyata, atau khayal.
Perhatikan masalah berikut. Misalkan terdapat dua bilangan genap berurutan yang hasil kalinya 224. Jika bilangan pertama adalah x x x x + 2 x+2 x + 2
x ( x + 2 ) = 224
x(x+2)=224
x ( x + 2 ) = 224 atau:
x 2 + 2 x − 224 = 0
x^2+2x-224=0
x 2 + 2 x − 224 = 0 Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut diperoleh x = 14 x=14 x = 14 14 dan 16 .
Sekarang, bagaimana jika akar-akar suatu persamaan kuadrat sudah diketahui? Bagaimana cara menyusun persamaan kuadratnya?
Jika suatu persamaan kuadrat mempunyai akar-akar x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0
(x-x_1)(x-x_2)=0
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya:
− 2 -2 − 2 6 6 6 1 3 \dfrac{1}{3} 3 1 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 ( x − ( − 2 ) ) ( x − 6 ) = 0 ( x + 2 ) ( x − 6 ) = 0 x 2 − 6 x + 2 x − 12 = 0 x 2 − 4 x − 12 = 0
\begin{aligned}
(x-x_1)(x-x_2)&=0\\
(x-(-2))(x-6)&=0\\
(x+2)(x-6)&=0\\
x^2-6x+2x-12&=0\\
x^2-4x-12&=0
\end{aligned}
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − ( − 2 )) ( x − 6 ) ( x + 2 ) ( x − 6 ) x 2 − 6 x + 2 x − 12 x 2 − 4 x − 12 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 Jadi, persamaan kuadratnya adalah:
x 2 − 4 x − 12 = 0
x^2-4x-12=0
x 2 − 4 x − 12 = 0 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 ( x − 1 3 ) ( x − 1 2 ) = 0 x 2 − 1 3 x − 1 2 x + 1 6 = 0 x 2 − 5 6 x + 1 6 = 0 6 x 2 − 5 x + 1 = 0
\begin{aligned}
(x-x_1)(x-x_2)&=0\\
\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)&=0\\
x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}&=0\\
x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}&=0\\
6x^2-5x+1&=0
\end{aligned}
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − 3 1 ) ( x − 2 1 ) x 2 − 3 1 x − 2 1 x + 6 1 x 2 − 6 5 x + 6 1 6 x 2 − 5 x + 1 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 Jadi, persamaan kuadratnya adalah:
6 x 2 − 5 x + 1 = 0
6x^2-5x+1=0
6 x 2 − 5 x + 1 = 0 Persamaan Kuadrat Fungsi Diskriminan Jika suatu persamaan kuadrat mempunyai akar-akar x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 x 2 − x 1 x − x 2 x + x 1 x 2 = 0 x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0
\begin{aligned}
(x-x_1)(x-x_2)&=0\\
x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2&=0\\
x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2&=0
\end{aligned}
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) x 2 − x 1 x − x 2 x + x 1 x 2 x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0 = 0 = 0 Jadi, jika diketahui jumlah akar-akar x 1 + x 2 x_1+x_2 x 1 + x 2 x 1 x 2 x_1x_2 x 1 x 2
x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0
x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0
x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0 Dari rumus abc:
x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a dan x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\quad \text{dan} \quad
x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x 1 = 2 a − b + b 2 − 4 a c dan x 2 = 2 a − b − b 2 − 4 a c Maka:
x 1 + x 2 = − b a x 1 x 2 = c a
\begin{aligned}
x_1+x_2 &= \frac{-b}{a} \\
x_1x_2 &= \frac{c}{a}
\end{aligned}
x 1 + x 2 x 1 x 2 = a − b = a c Jadi untuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0
x 1 + x 2 = − b a dan x 1 x 2 = c a
x_1+x_2=\frac{-b}{a}
\quad \text{dan} \quad
x_1x_2=\frac{c}{a}
x 1 + x 2 = a − b dan x 1 x 2 = a c Diketahui:
x 1 + x 2 = 7 dan x 1 x 2 = 10
x_1+x_2=7 \quad \text{dan} \quad x_1x_2=10
x 1 + x 2 = 7 dan x 1 x 2 = 10 Tentukan persamaan kuadratnya.
x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0 x 2 − 7 x + 10 = 0
\begin{aligned}
x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2&=0\\
x^2-7x+10&=0
\end{aligned}
x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 x 2 − 7 x + 10 = 0 = 0 Jika α \alpha α β \beta β
2 x 2 − 4 x − 12 = 0
2x^2-4x-12=0
2 x 2 − 4 x − 12 = 0 tentukan:
α + β \alpha+\beta α + β α β \alpha\beta α β α β 2 + α 2 β \alpha\beta^2+\alpha^2\beta α β 2 + α 2 β α 2 + β 2 \alpha^2+\beta^2 α 2 + β 2 α + β = − b a = − ( − 4 ) 2 = 4 2 = 2
\begin{aligned}
\alpha+\beta&=\frac{-b}{a}
=\frac{-(-4)}{2}
=\frac{4}{2}
=2
\end{aligned}
α + β = a − b = 2 − ( − 4 ) = 2 4 = 2 α β = c a = − 12 2 = − 6
\begin{aligned}
\alpha\beta&=\frac{c}{a}
=\frac{-12}{2}
=-6
\end{aligned}
α β = a c = 2 − 12 = − 6 α β 2 + α 2 β = α β ( α + β ) = ( − 6 ) ( 2 ) = − 12
\begin{aligned}
\alpha\beta^2+\alpha^2\beta
&=\alpha\beta(\alpha+\beta)\\
&=(-6)(2)\\
&=-12
\end{aligned}
α β 2 + α 2 β = α β ( α + β ) = ( − 6 ) ( 2 ) = − 12 α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β = 2 2 − 2 ( − 6 ) = 4 + 12 = 16
\begin{aligned}
\alpha^2+\beta^2
&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\\
&=2^2-2(-6)\\
&=4+12\\
&=16
\end{aligned}
α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β = 2 2 − 2 ( − 6 ) = 4 + 12 = 16 Jika α \alpha α β \beta β
2 x 2 − 14 x + 12 = 0
2x^2-14x+12=0
2 x 2 − 14 x + 12 = 0 tentukan persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar α + 2 \alpha+2 α + 2 β + 2 \beta+2 β + 2
Dari persamaan 2 x 2 − 14 x + 12 = 0 2x^2-14x+12=0 2 x 2 − 14 x + 12 = 0
a = 2 , b = − 14 , c = 12
a=2,\quad b=-14,\quad c=12
a = 2 , b = − 14 , c = 12 α + β = − b a = − ( − 14 ) 2 = 14 2 = 7
\begin{aligned}
\alpha+\beta&=\frac{-b}{a}
=\frac{-(-14)}{2}
=\frac{14}{2}
=7
\end{aligned}
α + β = a − b = 2 − ( − 14 ) = 2 14 = 7 α β = c a = 12 2 = 6
\begin{aligned}
\alpha\beta&=\frac{c}{a}
=\frac{12}{2}
=6
\end{aligned}
α β = a c = 2 12 = 6 Jumlah akar barunya:
( α + 2 ) + ( β + 2 ) = ( α + β ) + 4 = 7 + 4 = 11
(\alpha+2)+(\beta+2)=(\alpha+\beta)+4=7+4=11
( α + 2 ) + ( β + 2 ) = ( α + β ) + 4 = 7 + 4 = 11 Hasil kali akar barunya:
( α + 2 ) ( β + 2 ) = α β + 2 ( α + β ) + 4 = 6 + 2 ( 7 ) + 4 = 24
(\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=6+2(7)+4=24
( α + 2 ) ( β + 2 ) = α β + 2 ( α + β ) + 4 = 6 + 2 ( 7 ) + 4 = 24 Maka persamaan kuadrat barunya adalah:
x 2 − [ ( α + 2 ) + ( β + 2 ) ] x + ( α + 2 ) ( β + 2 ) = 0 x 2 − 11 x + 24 = 0
\begin{aligned}
x^2-[(\alpha+2)+(\beta+2)]x+(\alpha+2)(\beta+2)&=0\\
x^2-11x+24&=0
\end{aligned}
x 2 − [( α + 2 ) + ( β + 2 )] x + ( α + 2 ) ( β + 2 ) x 2 − 11 x + 24 = 0 = 0 Dalam kehidupan sehari-hari, banyak masalah dapat dimodelkan dengan persamaan kuadrat. Langkah umum penyelesaiannya:
misalkan salah satu nilai yang belum diketahui dengan x x x bentuk persamaan dalam x x x selesaikan persamaan, pilih solusi yang memenuhi konteks soal. Selisih dua bilangan cacah adalah 2, sedangkan hasil kalinya 168. Tentukan kedua bilangan itu.
Misalkan bilangan pertama = x =x = x = x − 2 =x-2 = x − 2
x ( x − 2 ) = 168 x 2 − 2 x = 168 x 2 − 2 x − 168 = 0 ( x + 12 ) ( x − 14 ) = 0 x = − 12 atau x = 14
\begin{aligned}
x(x-2)&=168\\
x^2-2x&=168\\
x^2-2x-168&=0\\
(x+12)(x-14)&=0\\
x&=-12 \quad \text{atau} \quad x=14
\end{aligned}
x ( x − 2 ) x 2 − 2 x x 2 − 2 x − 168 ( x + 12 ) ( x − 14 ) x = 168 = 168 = 0 = 0 = − 12 atau x = 14 Karena − 12 -12 − 12 x = 14 x=14 x = 14
Jadi kedua bilangan itu adalah 12 dan 14 .
Kebun Pak Harun berbentuk persegi panjang. Panjang kebun 3 meter lebih dari lebarnya. Jika luas kebun adalah 108 m 2 108 \text{ m}^2 108 m 2
Misalkan panjang kebun = p =p = p = p − 3 =p-3 = p − 3
Luas = p × l 108 = p ( p − 3 ) 108 = p 2 − 3 p p 2 − 3 p − 108 = 0 ( p − 12 ) ( p + 9 ) = 0
\begin{aligned}
\text{Luas}&=p\times l\\
108&=p(p-3)\\
108&=p^2-3p\\
p^2-3p-108&=0\\
(p-12)(p+9)&=0
\end{aligned}
Luas 108 108 p 2 − 3 p − 108 ( p − 12 ) ( p + 9 ) = p × l = p ( p − 3 ) = p 2 − 3 p = 0 = 0 Maka:
p = 12 atau p = − 9
p=12 \quad \text{atau} \quad p=-9
p = 12 atau p = − 9 Karena panjang tidak mungkin negatif, maka:
p = 12 m
p=12 \text{ m}
p = 12 m Lebarnya:
l = 12 − 3 = 9 m
l=12-3=9 \text{ m}
l = 12 − 3 = 9 m Kelilingnya:
K = 2 ( p + l ) = 2 ( 12 + 9 ) = 42
\begin{aligned}
K&=2(p+l)\\
&=2(12+9)\\
&=42
\end{aligned}
K = 2 ( p + l ) = 2 ( 12 + 9 ) = 42 Jadi, keliling kebun Pak Harun adalah 42 meter .
Setelah mempelajari persamaan kuadrat, fungsi diskriminan, dan menyusun persamaan kuadrat, silakan lanjut ke evaluasi berikut:
Kuis Materi Persamaan Kuadrat
Demikian materi tentang menyusun persamaan kuadrat untuk kelas IX semester ganjil SMP/MTs.
