Pengertian Himpunan

Pengantar

Ketika berbelanja di supermarket buah, kita melihat buah-buahan dikelompokkan berdasarkan jenisnya, misalnya anggur, mangga, atau jeruk. Dalam matematika, kumpulan benda yang terdefinisi dengan jelas seperti itu disebut himpunan.

Namun, tidak semua kumpulan dapat disebut himpunan. Suatu kumpulan harus memiliki anggota yang bisa ditentukan dengan jelas.

Pengertian Himpunan

Contoh kumpulan yang termasuk himpunan:

• kumpulan siswa laki-laki
• kumpulan hewan berkaki empat
• kumpulan buah yang diawali huruf S

Contoh kumpulan yang bukan himpunan:

• kumpulan pelajaran yang disenangi murid
• kumpulan makanan yang lezat
• kumpulan murid yang pandai

Dari contoh-contoh tersebut, dapat disimpulkan:

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang terdefinisi dengan jelas.

Objek yang ada di dalam himpunan disebut anggota atau elemen himpunan.

Lambang Suatu Himpunan

Aturan umum penulisan himpunan:

1. nama himpunan ditulis dengan huruf kapital, misalnya $A$, $B$, $C$
2. anggota himpunan ditulis di dalam kurung kurawal { }
3. antaranggota dipisahkan dengan tanda koma

Contoh:

Beberapa lambang himpunan bilangan yang sering digunakan:

• bilangan asli: $\{1,2,3,\ldots\}$
• bilangan cacah: $\{0,1,2,3,\ldots\}$
• bilangan bulat: $\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$
• bilangan prima
• bilangan genap
• bilangan ganjil
• bilangan rasional
• bilangan irasional
• bilangan real

Cara Menyatakan Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan beberapa cara.

1. Dengan kata-kata

Contoh:

2. Dengan notasi pembentuk himpunan

Contoh:

3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya

Contoh:

Anggota Himpunan

Misalkan:

Maka 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah anggota himpunan $A$, ditulis:

Simbol $\in$ berarti “anggota dari”, sedangkan $\notin$ berarti “bukan anggota dari”.

Karena 6 tidak terdapat pada himpunan $A$, maka:

Banyak Anggota Himpunan

Jika $A$ adalah suatu himpunan, maka banyak anggotanya ditulis dengan notasi $n(A)$. Notasi ini disebut kardinalitas himpunan $A$.

• himpunan dengan banyak anggota terbatas disebut himpunan berhingga
• himpunan dengan banyak anggota tak terbatas disebut himpunan tak berhingga

Contoh:

1. Jika $Z$ adalah himpunan bilangan bulat antara 0 dan 6, maka

   $$Z = \{1,2,3,4,5\}$$

   sehingga:

   $$n(Z)=5$$

2. Jika $N$ adalah himpunan bilangan asli, maka

   $$N = \{1,2,3,4,5,\ldots\}$$

   sehingga:

   $$n(N)=\infty$$

Himpunan Kosong

Definisi: Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Lambangnya adalah $\varnothing$ atau { }.

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

Contoh:

1. Jika $H$ adalah himpunan nama presiden Indonesia yang diawali huruf P, maka tidak ada anggotanya. Jadi:

   $$H = \varnothing$$

2. Jika $M$ adalah himpunan nama bulan yang jumlah harinya 20, maka:

   $$M = \varnothing$$

Himpunan Bagian

Perhatikan:

Karena setiap anggota $B$ juga merupakan anggota $A$, maka:

Namun, $B$ bukan himpunan bagian dari $C$, sehingga:

Demikian juga $C$ bukan himpunan bagian dari $B$, sehingga:

Ringkasnya:

• $A$ adalah himpunan bagian dari $B$ jika setiap anggota $A$ juga anggota $B$
• $A$ bukan himpunan bagian dari $B$ jika ada anggota $A$ yang tidak menjadi anggota $B$

Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian

Perhatikan pola berikut:

• jika $A=\{1\}$, banyak himpunan bagiannya 2
• jika $B=\{1,2\}$, banyak himpunan bagiannya 4
• jika $C=\{1,2,3\}$, banyak himpunan bagiannya 8

Maka diperoleh kesimpulan:

Contoh:

1. $P=\{a,b,c,d,e\}$, maka $n(P)=5$ sehingga banyak himpunan bagiannya:

   $$2^5 = 32$$

2. $K=\{x \mid x \text{ bilangan asli kurang dari } 7\} = \{1,2,3,4,5,6\}$, maka $n(K)=6$ sehingga banyak himpunan bagiannya:

   $$2^6 = 64$$

Himpunan Semesta

Jika kita membicarakan mobil, bus, kereta api, dan pesawat terbang, maka semesta pembicaraannya adalah alat transportasi. Dalam teori himpunan, semesta pembicaraan ini disebut himpunan semesta atau universum.

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan $S$ atau $U$.

Contoh:

Tentukan himpunan semesta dari:

Himpunan semesta yang mungkin:

• himpunan bilangan cacah
• himpunan bilangan asli
• himpunan bilangan bulat
• himpunan bilangan genap

Evaluasi

Latihan interaktif untuk bagian ini tersedia pada sumber aslinya.

Penutup

Demikian pembahasan tentang pengertian himpunan, cara menyatakan himpunan, himpunan kosong, himpunan bagian, dan himpunan semesta. Materi ini menjadi dasar penting untuk topik-topik himpunan berikutnya.