Menyajikan Operasi Himpunan Dalam Diagram Venn

Pengantar

Setelah pada postingan sebelumnya kita membahas tentang pengertian himpunan dan menyajikan hubungan antarhimpunan dengan diagram Venn, maka pada kesempatan ini kita akan membahas tentang menyajikan operasi himpunan dalam diagram Venn, sifat-sifat operasi himpunan, dan penerapannya dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan konsep himpunan.

Jenis-jenis Operasi Himpunan

Di sini kita akan membahas operasi himpunan yang meliputi :

1. irisan dua himpunan
2. gabungan dua himpunan
3. selisih (difference) dua himpunan
4. komplemen suatu himpunan

Irisan Himpunan

Perhatikan ilustrasi berikut. Hasil kuesioner dari sekelompok siswa yang gemar olahraga basket dan sepak bola, tercatat nama Andi, Budi, Candra, dan Doni gemar basket. Selain itu, juga tercatat Eka, Fahmi, Budi, dan Doni gemar sepak bola. Menurut hasil kuesioner di atas, adakah siswa yang gemar kedua jenis olahraga?Jika disajikan dalam bentuk himpunan, diperoleh himpunan penggemar basket dinotasikan dengan $A=\{\text{Andi, Budi, Candra, Doni}\}$ dan himpunan penggemar sepak bola dinotasikan dengan $B=\{\text{Eka, Fahmi, Budi, Doni}\}$.

Jika kegemaran sekelompok siswa itu digambarkan dengan diagram Venn tampak bahwa Budi dan Doni gemar basket dan sepak bola yang merupakan irisan dari himpunan $A$ dan $B$. Hal itu dapat ditulis $A\cap B=\{\text{Budi, Doni}\}$. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

KesimpulanIrisan himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang anggota-anggotnya merupakan anggota $A$ dan $B$, dinotasikan dengan $A\cap B=\{x|x\in A\ \text{dan}\ x\in B\}$

Contoh. Diketahui $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $B=\{4, 5, 6, 7\}$a. Tentukan $A\cap B$ dengan mendaftar anggotanya.b. Buatlah diagram Venn dari soal tersebut. Jawab.a. $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $B=\{4, 5, 6, 7\}$Ada anggota $A$ dan $B$ yang sama, yaitu $4$ dan $5$ maka $A\cap B=\{4, 5\}$b. Gambar diagram Venn terlihat seperti gambar berikut.

Gambar : Irisan dua himpunan

Gabungan Dua Himpunan

Perhatikan dua himpunan berikut.

Gambar : Gabungan dua himpunan

KesimpulanGabungan himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan $A$ atau anggota himpunan $B$, dinotasikan dengan $A\cup B=\{x|x\in A\ \text{atau}\ x\in B\}$

Contoh. Diketahui $A=\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ dan $B=\{2, 6, 10, 14, 18\}$a. Tentukan $A\cup B$ dengan mendaftar anggota-anggotanya.b. Buat diagram VennJawab.a. \(\begin{array}{rcl}A&=&\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}\\B&=&\{2, 6, 10, 14, 18\}\\A\cup B&=&\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18\}\end{array}\)b. Diagram Venn tampak seperti gambar berikut.

Gambar : Gabungan dua himpunan

Selisih (Difference) Dua Himpunan

Perhatikan dua bilangan berikut.$A=\{\text{bilangan prima kurang dari 15}\}$

Gambar : Selisih dua himpunan

Bilangan prima yang kurang dari 15 tetapi bukan bilangan ganjil yang lebih dari 5 dan kurang dari 20 adalah bagian yang diarsir pada gambar tersebut. Pada bagian yang diarsir terdapat bilangan 2, 3, dan 5. Bilangan 2, 3, dan 5 merupakan anggota-anggota himpunan $A$, tetapi bukan anggota himpunan $B$. Selanjutnya 2, 3, dan 5 disebut selisih dari himpunan $A$ dan $B$.

KesimpulanSelisih himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan $A$, tetapi bukan anggota himpunan $B$, dinotasikan dengan $A-B=\{x|x\in A, x\not\in B\}$

Contoh. Diketahui$A=\{a, b, c, d, e, f\}$ dan $B=\{a, e, i, o, u\}$a. Tentukan $A-B$ dengan mendaftar anggota-anggotanya.b. Buat diagram Venn dan arsir $A-B$ Jawab.$\begin{array}{rcl}a.\ A&=&\{a, b, c, d, e, f\}\\B&=&\{a, e, i, o, u\}\\A-B&=&\{b, c, d, f\}\end{array}$b. Diagram Venn

Gambar : Selisih dua himpunan

Komplemen Suatu Himpunan

Perhatikan diagram Venn berikut.

Gambar : Komplemen suatu himpunan

Diagram Venn tersebut menunjukkan $S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ dan $A=\{1, 3, 5, 7\}$Adakah himpunan $S$ yang bukan anggota himpunan $A$? Apakah $A\subset S$ ? Anggota-anggota himpunan $S$ yang bukan anggota $A$ disebut komplemen atau pelengkap dari $A$. Komplemen dari $A$ ditulis $A'$ atau $A^c$. Berdasarkan diagram Venn pada gambar di atas diperoleh $A'=A^c=\{2, 4, 6, 8, 9, 10\}$.Dengan demikian, pengertian komplemen suatu himpunan adalah sebagai berikut.

KesimpulanJika $A$ adalah suatu himpunan dalam $S$ maka anggota himpunan $S$ yang bukan anggota $A$ disebut *komplemen* $A$ dan ditulis $A'$ atau $A^c$, dinotasikan dengan $A'=A^c=\{x|x\in S\ \text{dan}\ x\not\in A\}$

Contoh. Misalkan :

Ada beberapa sifat yang perlu diketahui pada operasi dua atau lebih himpunan. Misalkan diketahui himpunan-himpunan sebagai berikut. \(\begin {array}{rcl} S&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\\A&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\C&=&\{3, 4, 5, 10\}\end{array}\) Dengan menggunakan himpunan-himpunan tersebut, mari kita uji beberapa sifat himpunan. ### Sifat Komutatif Perhatikan operasi himpunan berikut. $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ $B=\{3, 4, 5, 6\}$ \(\begin {array}{rcl} A\cup B&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\B\cup A&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\A\cap B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\B\cap A&=&\{3, 4, 5, 6\}\end{array}\) #### Catatan * Sifat komutatif irisan yaitu: $A\cap B=B\cap A$ * Sifat komutatif gabungan yaitu: $A\cup B=B\cup A$ ### Sifat Asosiatif Perhatikan himpunan-himpunan berikut. $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ $B=\{3, 4, 5, 6\}$ $C=\{3, 4, 5, 10\}$ Kemudian kita akan melakukan operasi irisan himpunan-himpunan tersebut. \(\begin {array}{rcl} A\cap B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\B\cap C&=&\{3, 4, 5\}\\(A\cap B)\cap C&=&\{3, 4, 5\}\\A\cap (B\cap C)&=&\{3, 4, 5\}\end{array}\) Selanjutnya operasi gabungan himpunan-himpunan tersebut, seperti terlihat di bawah ini. \(\begin {array}{rcl} A\cup B&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\B\cup C&=&\{3, 4, 5, 6, 10\}\\(A\cup B)\cup C&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\\A\cup (B\cup C)&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\end{array}\) Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

KesimpulanUntuk sembarang himpunan $A, B\ \text{dan}\ C$ berlaku sifat berikut : \(\begin{array}{rcl}(A\cap B)\cap C&=&A\cap (B\cap C)\\(A\cup B)\cup C&=&A\cup (B\cup C)\end{array}\)

Sifat Distributif

Perhatikan himpunan-himpunan berikut. $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ $B=\{3, 4, 5, 6\}$ $C=\{3, 4, 5, 10\}$ Kemudian kita akan melakukan operasi irisan dan gabungan himpunan-himpunan tersebut. $\begin {array}{rcl} A\cap B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\A\cap C&=&\{3, 4, 5\}\\(A\cap B)\cup (A\cap C)&=&\{3, 4, 5, 6\}\end{array}$ $\begin {array}{rcl} B\cup C&=&\{3, 4, 5, 6, 10\}\\A\cap (B\cup C)&=&\{3, 4, 5, 6\}\end{array}$ $\begin {array}{rcl} B\cap C&=&\{3, 4, 5\}\\A\cup (B\cap C)&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\end{array}$ $\begin {array}{rcl} A\cup C&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\\(A\cup B)\cap (A\cup C)&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\end{array}$ Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

KesimpulanUntuk sembarang himpunan $A, B, \text{dan}\ C$ berlaku sifat berikut : \(\begin{array}{rcl}A\cap (B\cup C)&=&(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)&=&(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{array}\)

Penerapan Himpunan

Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan konsep himpunan, akan lebih mudah jika memanfaatkan diagram Venn dalam menyelesaikannya. Perhatikan contoh-contoh berikut.

1. Jumlah siswa kelas VIIA 32 orang, 20 orang diantaranya menyukai pelajaran matematika dan 14 orang menyukai bahasa Inggris. a. Buat diagram Venn dari permasalahan tersebut. b. Berapa siswa yang menyukai pelajaran matematika dan bahasa Inggris?

2. Dalam sebuah kelas terdapat 17 siswa yang mengikuti ekstra kurikuler rohis, 15 siswa mengikuti PMR, dan 8 siswa mengikuti keduanya.a. Buat diagram Venn dari permasalah tersebut.b. Berapa jumlah siswa seluruhnya?

3. Dalam seleksi siswa penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus dalam tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang dinyatakan lulus tes bahasa. a. Buat diagram Venn dari permasalahan tersebut.b. Berapa banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa?

4. Dari 80 orang siswa yang disurvei tentang kegemaran menonton olahraga di televisi, diperoleh data 48 orang gemar menonton voli, 42 orang gemar menonton basket dan 10 orang tidak gemar menonton acara tersebut. Banyak siswa yang gemar menonton voli dan basket adalah …Jawab.

5. a. Diagram Venn

b. Misal siswa yang menyukai pelajaran matematika dan bahasa Inggris adalah $x$, maka :$\begin{array}{rcl}(20-x)+x+14-x&=&32\\20-x+x+14-x&=&32\\20+14-x&=&32\\34-x&=&32\\x&=&34-32\\x&=&2\end{array}$Jadi, siswa yang menyukai pelajaran matematika dan bahasa Inggris ada 2 orang.

2. a. Diagram Venn

b. Misal :$R=\{\text{siswa yang mengikuti rohis}\}$, $n(R)=17$$P=\{\text{siswa yang mengikuti PMR}\}$, $n(P)=15$$R\cap P=\{\text{siswa yang mengikuti rohis dan PMR}\}$, $n(R\cap P)=8$Banyak siswa di kelas itu adalah :$\begin{array}{rcl}n(R\cup P)&=&n(R)+n(P)-n(R\cap P)\\&=&17+15-8\\&=&24\end{array}$3. a. Diagram Venn

b. Misal :$M=\{\text{siswa yang lulus matematika}\}$, $n(M)=103$$B=\{\text{siswa yang lulus bahasa}\}$, $n(B)=142$$S=\{\text{peserta tes}\}$, $n(S)=180$$M\cap B=\{\text{siswa yang lulus seleksi}\}$, $n(M\cap B)=x$Perhatikan diagram Venn dia atas.$\begin{array}{rcl}n(S)&=&(103-x)+(x)+(142-x)\\180&=&103+142-x\\180&=&245-x\\x&=&245-180\\x&=&65\end{array}$Jadi $M\cap B=x=65$artinya banyak siswa penerima beasiswa adalah 65 orang.Cara lain :$n(S)=n(M\cup B)$

$$\begin{array}{rcl}n(S)&=&n(M)+n(B)-n(M\cap B)\\180&=&103+142-n(M\cap B)\\180&=&245-n(M\cap B)\\n(M\cap B)&=&245-180\\&=&65\end{array}$$

4. Misal :$V=\{\text{gemar menonton voli}\}$, $n(V)=48$$B=\{\text{gemar menonton basket}\}$, $n(B)=42$$V'\cap B'=\{\text{tidak gemar menonton voli dan basket}\}$, $n(V'\cap B'=10$Maka :

$$\begin{array}{rcl}n(V\cup B)&=&n(V)+n(B)-n(V\cap B)+n(V'\cap B')\\80&=&48+42-n(V\cap B)+10\\80&=&100-n(V\cap B)\\n(V\cap B)&=&100-80\\n(V\cap B)&=&20\end{array}$$

Jadi banyaknya siswa yang gemar menonton voli dan basket adalah 20 orang.

Evaluasi

Setelah mempelajari materi tentang operasi himpunan, sifat-sifat operasi himpunan, dan penerapan himpunan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari, sekarang kita akan melakukan evaluasi untuk mengukur pemahaman terhadap materi tersebut. Silakan kerjakan kuis berikut dengan mengklik tombol di bawah ini.

Kuis

Penutup

Demikian artikel tentang materi himpunan pada submateri menyajikan operasi himpunan dalam diagram Venn, serta sifat-sifat operasi himpunan, dan penerapan konsep himpunan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan konsep himpunan. Semoga bermanfaat. Terima kasih.