Menyajikan Hubungan Antarhimpunan Dengan Diagram Venn

Pengantar

Himpunan dapat disajikan dengan:

1. deskripsi atau kata-kata,
2. notasi pembentuk himpunan,
3. mendaftar anggotanya,
4. atau dengan diagram Venn.

Diagram ini dinamai dari matematikawan Inggris, John Venn (1834-1923).

Petunjuk membuat diagram Venn:

1. Himpunan semesta $S$ digambarkan sebagai persegi panjang.
2. Setiap himpunan di dalam himpunan semesta digambarkan dengan kurva tertutup sederhana.
3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik atau dituliskan di dalam daerahnya.
4. Jika anggota himpunan sangat banyak, anggota-anggotanya tidak harus dituliskan satu per satu.

Contoh diagram Venn:

Hubungan Antarhimpunan

Berbagai hubungan antarhimpunan dapat digambarkan dengan diagram Venn berikut.

1. Himpunan Bagian

Pada gambar (a), himpunan $A$ adalah himpunan bagian dari himpunan $B$.

Artinya, setiap anggota $A$ juga merupakan anggota $B$.

2. Himpunan yang Sama

Pada gambar (b), semua anggota $A$ adalah anggota $B$, dan semua anggota $B$ juga anggota $A$.

3. Himpunan Saling Lepas

Pada gambar (c), himpunan $A$ dan $B$ tidak mempunyai anggota persekutuan. Oleh karena itu, keduanya disebut saling lepas.

4. Himpunan Berpotongan

Pada gambar (d), himpunan $A$ dan $B$ mempunyai anggota persekutuan, tetapi masing-masing juga masih memiliki anggota lain yang berbeda.

Himpunan Ekuivalen

Untuk memahami himpunan ekuivalen, perhatikan contoh berikut.

Jika:

dengan $x$ anggota himpunan bilangan cacah $C$ dan $y$ anggota himpunan bilangan asli $N$, maka kita peroleh tabel:

Dari tabel tersebut:

Hubungan $C$ dan $N$ dapat digambarkan sebagai korespondensi satu-satu.

Karena banyak anggota kedua himpunan sama, maka $C$ dan $N$ adalah himpunan ekuivalen.

Kesimpulan:

Dua himpunan $A$ dan $B$ dikatakan ekuivalen jika $n(A)=n(B)$, dan ditulis $A \sim B$.

Contoh Soal

Contoh 1

Diketahui:

Jika $S$ merupakan himpunan semesta, gambarlah diagram Venn dari himpunan-himpunan tersebut.

Pada diagram tersebut, terlihat bahwa $3$, $5$, dan $7$ merupakan anggota persekutuan himpunan $A$ dan $B$.

Contoh 2

Diketahui:

Pertanyaan:

1. Tunjukkan dengan diagram Venn pasangan himpunan di atas.
2. Manakah pasangan himpunan yang saling lepas, berpotongan, dan himpunan bagian?
3. Adakah pasangan himpunan yang sama?
4. Adakah pasangan himpunan yang ekuivalen?

Jawab:

1. Pasangan $A$ dan $B$ saling lepas.
2. Pasangan $C$ dan $D$ berpotongan dengan anggota persekutuan $2$ dan $3$.
3. Himpunan $F$ merupakan himpunan bagian dari $E$.
4. Tidak ada pasangan himpunan yang sama.
5. Ada pasangan himpunan ekuivalen, yaitu $A$ dan $B$, karena:

Penutup

Diagram Venn adalah cara yang efektif untuk menyajikan beberapa himpunan sekaligus dan menunjukkan hubungan di antara himpunan-himpunan tersebut. Dengan diagram ini, himpunan bagian, irisan, himpunan saling lepas, hingga himpunan ekuivalen dapat terlihat lebih jelas.