Bilangan Pecahan

Pengantar

Kelas VII.A dari sebuah SMP mengadakan pemilihan ketua kelas. Calon-calon ketua kelas tersebut adalah Danang, Fatimah, dan Zalfa. Setelah diadakan pemungutan suara, diperoleh data bahwa Danang memperoleh $\dfrac{1}{3}$ dari perolehan Fatimah, sedangkan Fatimah memperoleh $\dfrac{3}{4}$ dari perolehan Zalfa. Jika jumlah siswa di kelas itu ada 32 anak, berapakah perolehan suara dari masing-masing calon?

Definisi Bilangan Pecahan

Dikutip dari Buku Ensiklopedia Matematika yang ditulis oleh ST. Negoro dan B. Harahap, pecahan adalah bilangan yang menggambarkan bagian dari suatu keseluruhan, bagian dari suatu daerah, bagian dari suatu benda, atau bagian dari suatu himpunan.

Perhatikan gambar berikut.

Pada pecahan yang ditulis dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat serta $b \ne 0$, maka $a$ disebut pembilang dan $b$ disebut penyebut.

Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang memiliki nilai sama. Untuk memperoleh pecahan senilai, pembilang dan penyebut dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama selain nol. Contoh pecahan-pecahan senilai adalah $\dfrac{2}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{4}{8}$, dan $\dfrac{8}{16}$.

Cara membandingkan dua pecahan yang penyebutnya tidak sama adalah dengan mengubah pecahan-pecahan tersebut menjadi pecahan senilai berpenyebut sama.

Contoh

Bandingkan pasangan pecahan berikut:

a. $\dfrac{2}{3}$ dan $\dfrac{3}{4}$
b. $\dfrac{3}{5}$ dan $\dfrac{5}{7}$

Jawab

a. Penyebut dari $\dfrac{2}{3}$ dan $\dfrac{3}{4}$ berturut-turut adalah 3 dan 4. KPK dari 3 dan 4 adalah 12. Untuk membandingkan besar pecahan itu, terlebih dahulu samakan penyebutnya dengan KPK dari kedua penyebut.

Sehingga diperoleh:

Jadi:

b. Penyebut dari $\dfrac{3}{5}$ dan $\dfrac{5}{7}$ berturut-turut adalah 5 dan 7. KPK dari 5 dan 7 adalah 35.

Sehingga diperoleh:

Jadi:

Baca juga:

• Bilangan Bulat
• Bilangan Berpangkat
• Perbandingan

Contoh

Jumlah uang Bu Intan adalah Rp15.000,00. Jika uang tersebut dibelanjakan Rp10.000,00, berapa bagian uang Bu Intan yang dibelanjakan?

Jawab

Perbandingan uang yang dibelanjakan Bu Intan terhadap jumlah uang adalah:

Desimal

Pecahan desimal adalah pecahan dengan penyebut 10, 100, 1.000, dan seterusnya.

Contoh

1. Ubahlah pecahan-pecahan berikut ke bentuk pecahan desimal: a. $\dfrac{1}{4}$
   b. $\dfrac{6}{25}$

2. Ubahlah bentuk desimal berikut ke bentuk pecahan biasa: a. $0,4$
   b. $0,016$
   c. $5,25$

Jawab

1. a. $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1\times 25}{4\times 25}=\dfrac{25}{100}=0,25$
   b. $\dfrac{6}{25}=\dfrac{6\times 4}{25\times 4}=\dfrac{24}{100}=0,24$

2. a. $0,4=\dfrac{4}{10}=\dfrac{4 : 2}{10 : 2}=\dfrac{2}{5}$
   b. $0,016=\dfrac{16}{1.000}=\dfrac{16 : 8}{1.000 : 8}=\dfrac{2}{125}$
   c. $5,25=\dfrac{525}{100}=\dfrac{525 : 25}{100 : 25}=\dfrac{21}{4}=5\dfrac{1}{4}$

Persen

Persen adalah pecahan dengan penyebut 100 dan dinotasikan dengan %. Untuk mengubah pecahan biasa ke bentuk persen, dapat dilakukan dengan salah satu cara berikut:

a. mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100,
b. mengalikan pecahan biasa tersebut dengan $100\%$.

Contoh

1. Ubahlah pecahan berikut ke dalam bentuk persen: a. $\dfrac{1}{4}$
   b. $\dfrac{6}{25}$

2. Ubahlah bentuk persen berikut ke bentuk pecahan biasa: a. $20\%$
   b. $75\%$
   c. $150\%$

Jawab

1. a. $\dfrac{1}{4}\times 100\%=25\%$
   b. $\dfrac{6}{25}\times 100\%=24\%$

2. a. $20\%=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}$
   b. $75\%=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$
   c. $150\%=\dfrac{150}{100}=\dfrac{3}{2}$

Permil

Permil adalah pecahan dengan penyebut 1.000. Permil biasanya digunakan untuk menyatakan salinitas. Misalnya, salinitas Laut Merah mencapai 40‰. Hal itu berarti setiap 1 kg air laut mengandung 40 g garam.

Untuk mengubah pecahan biasa ke bentuk permil, dapat dilakukan dengan salah satu cara berikut:

a. mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 1.000,
b. mengalikan pecahan biasa tersebut dengan 1.000‰.

Contoh

1. Ubah pecahan berikut ke dalam bentuk permil: a. $\dfrac{3}{5}$
   b. $\dfrac{5}{8}$

2. Ubah bentuk permil berikut ke bentuk pecahan biasa: a. \(25‰\)
   b. \(1.500‰\)

Jawab

1. a. \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\times 200}{5\times 200}=\dfrac{600}{1.000}=600‰\)
   b. \(\dfrac{5}{8}\times 1000‰=625‰\)

2. a. \(25‰=\dfrac{25}{1.000}=\dfrac{1}{40}\)
   b. \(1.500‰=\dfrac{1.500}{1.000}=\dfrac{3}{2}\)

Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan

Penjumlahan

Pecahan-pecahan yang penyebutnya sama dapat dijumlahkan dengan menjumlahkan pembilangnya saja, sedangkan penyebutnya tetap. Secara umum:

Jika pecahan yang dijumlahkan memiliki penyebut berbeda, samakan dahulu penyebutnya dengan mencari KPK dari penyebut-penyebut tersebut.

Contoh

Hitunglah penjumlahan pecahan berikut.

a. $\dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{7}$
b. $\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}$

Jawab

a. $\dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{3+1}{7}=\dfrac{4}{7}$

b. KPK dari 4 dan 3 adalah 12, sehingga:

Pengurangan

Pecahan-pecahan yang penyebutnya sama dapat dikurangkan dengan mengurangkan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, sedangkan penyebutnya tetap. Secara umum:

Jika penyebut kedua pecahan berbeda, samakan terlebih dahulu penyebutnya.

Contoh

Tentukan hasil pengurangan pecahan berikut.

a. $\dfrac{5}{7}-\dfrac{2}{7}$
b. $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{5}$
c. $4\dfrac{2}{3}-2\dfrac{1}{5}$

Jawab

a. $\dfrac{5}{7}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5-2}{7}=\dfrac{3}{7}$

b. KPK dari 4 dan 5 adalah 20, sehingga:

c. KPK dari 3 dan 5 adalah 15, sehingga:

Perkalian

Operasi perkalian pecahan berarti mengalikan suatu bilangan dengan pecahan. Perkalian dapat berupa bilangan bulat dengan pecahan maupun pecahan dengan pecahan. Secara umum:

Contoh

Tentukan hasil perkalian pecahan berikut.

a. $\dfrac{3}{4}\times \dfrac{7}{10}$
b. $\dfrac{5}{6}\times \dfrac{6}{7}$

Jawab

a. $\dfrac{3}{4}\times \dfrac{7}{10}=\dfrac{3\times 7}{4\times 10}=\dfrac{21}{40}$

b.

Pembilang dan penyebut dibagi dengan FPB dari 30 dan 42, yaitu 6.

Pembagian

Membagi dengan pecahan sama artinya dengan mengalikan oleh kebalikan pecahan pembagi. Secara umum:

Contoh

Tentukan hasil pembagian pecahan berikut.

a. $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}$
b. $2 \div \dfrac{1}{4}$
c. $\dfrac{4}{5}\div 4$

Jawab

a. $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

b. $2\div \dfrac{1}{4}=2\times \dfrac{4}{1}=8$

c. $\dfrac{4}{5}\div 4=\dfrac{4}{5}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{4\times 1}{5\times 4}=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}$

Urutan Operasi Hitung

Jika Anda menemukan kalimat matematika yang mencampurkan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat, maka kita gunakan aturan urutan operasi hitung berikut ini.

1. Selesaikan operasi pangkat.

2. Selesaikan operasi kali dan bagi.

3. Selesaikan operasi tambah dan kurang. Operasi di dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Evaluasi

Untuk menguji pemahaman tentang bilangan pecahan, cobalah kerjakan kembali contoh-contoh pada setiap bagian tanpa melihat pembahasannya terlebih dahulu. Setelah itu, periksa hasilnya dengan membandingkan langkah kerja yang telah dituliskan.

Fokuskan latihan pada kemampuan berikut:

1. membandingkan pecahan,
2. mengubah pecahan ke bentuk desimal, persen, dan permil,
3. melakukan operasi hitung pada pecahan,
4. menerapkan urutan operasi hitung dengan benar.

Penutup

Demikian pembahasan mengenai bilangan pecahan. Jika ada bagian yang kurang tepat, silakan koreksi melalui kolom komentar.