Tripel Pythagoras

Pendahuluan

Pada materi Teorema Pythagoras, kita telah mengenal hubungan:

Tiga bilangan bulat positif $(a,b,c)$ yang memenuhi hubungan tersebut disebut tripel Pythagoras. Jika ketiga bilangan itu tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1, maka tripel tersebut disebut tripel Pythagoras primitif.

Rumus Dasar

Jika $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif dengan $m>n>0$, maka salah satu bentuk tripel Pythagoras adalah:

Bukti

Misalkan:

Maka:

Jadi, $(2mn,\ m^2-n^2,\ m^2+n^2)$ benar membentuk tripel Pythagoras.

Luas dan Keliling

Jika sisi-sisi segitiga siku-siku dinyatakan dengan bentuk tripel Pythagoras di atas, maka:

Luas

Keliling

Dalam kondisi tertentu, luas segitiga bisa sama dengan keliling segitiga. Dari:

dapat diperoleh hubungan:

Contoh:

• jika $m=3$ dan $n=1$, maka luas = keliling = 24
• jika $m=3$ dan $n=2$, maka luas = keliling = 30

Jenis-Jenis Tripel Pythagoras

1. Tripel Pythagoras Primitif

Tripel Pythagoras $(a,b,c)$ disebut primitif jika:

Beberapa sifatnya:

• paling sedikit satu di antara $a$, $b$, atau $c$ adalah bilangan ganjil
• salah satu dari $a$ atau $b$ genap
• $c$ selalu ganjil

2. Tripel Pythagoras Primitif Kembar

Tripel Pythagoras primitif kembar terjadi jika selisih hipotenusa dan sisi tegak terpanjangnya adalah 1.

Dengan bentuk:

jika $a>b$, maka syarat primitif kembar memberi:

Jadi:

Jika $b>a$, maka:

yang tidak mempunyai solusi bilangan bulat positif.

3. Tripel Pythagoras Komposit

Tripel Pythagoras disebut komposit jika ketiga bilangannya masih mempunyai faktor persekutuan lebih dari 1.

Contoh 1

Buktikan bahwa jika salah satu dari $a$ atau $b$ genap pada tripel Pythagoras primitif $(a,b,c)$, maka $c$ harus ganjil.

Penyelesaian

Gunakan pembuktian tidak langsung. Misalkan $c$ genap, dan $a$ serta $b$ ganjil.

Tulis:

Substitusikan ke persamaan Pythagoras:

Ruas kiri bukan bilangan bulat, padahal $n^2$ harus bilangan bulat. Terjadi kontradiksi. Jadi anggapan bahwa $c$ genap salah, sehingga $c$ harus ganjil.

Contoh 2

Carilah semua tripel Pythagoras primitif $(a,b,c)$ dengan $b$ genap dan $c \le 40$.

Penyelesaian

Ambil:

dengan syarat:

• $m>n>0$
• $m$ dan $n$ relatif prima
• $m$ dan $n$ tidak keduanya ganjil
• $m^2+n^2 \le 40$

Hasil yang memenuhi:

Cara Menentukan Tripel Pythagoras

Langkah-langkah umum:

1. tentukan dua bilangan asli $m$ dan $n$ dengan $m>n$
2. hitung $m^2-n^2$, $2mn$, dan $m^2+n^2$
3. ketiga hasil tersebut membentuk tripel Pythagoras

Contoh:

Catatan:

• semua kelipatan dari tripel Pythagoras juga tetap merupakan tripel Pythagoras
• tripel Pythagoras tidak hanya muncul pada bilangan bulat, tetapi juga bisa pada bilangan pecahan atau irasional, misalnya $(3,3,3\sqrt{2})$ atau $\left(\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}\right)$

Penutup

Tripel Pythagoras memberi cara cepat untuk membangun segitiga siku-siku tanpa harus menghitung dari nol setiap kali. Dengan memahami rumus dasarnya, jenis-jenisnya, dan syarat tripel primitif, kita bisa mengenali banyak pola bilangan yang memenuhi teorema Pythagoras.