Tripel Pythagoras
Pendahuluan
Seperti telah dibahas sebelumnya pada materi Teorema Pythagoras bahwa tiga bilangan bulat positif $a, b$, dan $c$ disebut tripel (tigaan) Pythagoras yang memenuhi $a^2+b^2=c^2$, jika $(a, b, c)$ mempunyai FPB = 1.
Teorema 1:
Misal merupakan bilangan bulat positif, maka tripel Pythagorasnya adalah $(a, b, c)$ = $(2mn, m^2-n^2, m^2+n^2)$
Bukti :
Untuk mempermudah penentuan luas dan keliling segitiga siku-siku dipergunakan formula berikut.
Luas = $\frac{1}{2} (2mn)(m^2-n^2)=mn(m^2-n^2)$
Keliling = $2mn+m^2-n^2+m^2+n^2=2mn+2m^2=2m(m+n)$
Dalam kondisi tertentu luas $\bigtriangleup$=keliling $\bigtriangleup$, diperoleh keadaan $mn(m^2-n^2)=2mn(m+n)$
$n(m-n)=2$
Perhatikan hubungan $n(m-n)=2$.
Untuk :
(i) $m=3, n=1$, Luas=Keliling=24.
(ii) $m=3, n=2$, Luas=Keliling=30.
Jenis-jenis Tripel Pythagoras
Jenis-jenis tripel Pythagoras ada $3$ macam, yaitu :
- Tripel Pythagoras Primitif (TPP)
tripel Pythagoras $(a, b, c)$ disebut primitif jika tidak ada faktor persekutuan atau FPB $(a, b, c)=1$. Hal tersebut dikembangkan lagi menjadi sifat-sifat berikut ini.
(i) Jika $(a, b, c)$ merupakan TPP, maka paling sedikit satu diantara $a, b,$ atau $c$ merupakan bilangan ganjil.
(ii) Jika $(a, b, c)$ merupakan TPP, maka salah satu diantara $a$ atau $b$ merupakan bilangan genap dan $c$ harus bilangan ganjil.
- Tripel Pythagoras Primitif Kembar(TPPK)
Tripel Pythagoras $(a, b, c)$ disebut primitif kembar apabila selisih hipotenusa dengan panjang sisi tegak terpanjangnya adalah satu.
- Tripel Pythagoras Komposit (TPK)
Tripel Pythagoras $(a, b, c)$ disebut komposit apabila ada sebuah faktor persekutuan untuk semua bilangan bulat positif $a, b$, dan $c$.
Untuk tercapai kondisi TPPK dari $a=2mn, b=m^2-n^2$, dan $c=m^2+n^2$ adalah sebagai berikut.
(i) , berarti $a=2mn$ dan $c=m^2+n^2$ dengan syarat :
Misal, $m, n=8, 7$ dan $m, n=9, 8$ maka .
(ii) , berarti $b=m^2-n^2$ dan $c=m^2+n^2$ dengan syarat :
Karena $n$ merupakan bilangan bulat positif, maka kondisi (ii) tidak mempunyai solusi.
Contoh 1.
Buktikan jika salah satu dari $a$ atau $b$ merupakan bilangan genap dari tripel Pythagoras primitif $(a, b, c)$, maka $c$ harus merupakan bilangan ganjil.
Penyelesaian.
Asumsikan $c$ merupakan bilangan genap dan $a, b$ bilangan ganjil.(pembuktian terbalik)
Berarti $c=2n, a=2p+1$dan $b=2m=1$. Ketiganya harus memenuhi teorema Pythagoras.
Ternyata $n$ bukan bilangan asli, melainkan bilangan rasional, berarti salah. Hal sebaliknya berarti benar, (terbukti).
Contoh 2.
Carilah semua tripel Pythagoras primitif $(a, b, c)$ dengan $b$ genap dan $c\leq 40$.
Penyelesaian.
Asumsikan $a=m^2-n^2, b=2mn$ (genap), dan $c=m^2+n^2$ dengan kondisi $m^2+n^2\leq 40$.
Karena $(a, b, c)$ merupakan TPP berarti FPB $(a, b, c)=1$ dengan $m$ dan $n$ tidak mempunyai faktor persekutuan, serta karena $a, b, c$ merupakan bilangan bulat positif. Karena hanya $b$ yang merupakan bilangan genap, berarti $m$ dan $n$ tidak boleh keduanya ganjil. Perhatikan tabel berikut ini.
| m | n | $a=m^2-n^2$ | $b=2mn$ | $c=m^2+n^2$ | TPP (a, b, c) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | (3, 4, 5) |
| 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | (5, 12, 13) |
| 4 | 1 | 15 | 8 | 17 | (15, 8, 17) |
| 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | (7, 24, 25) |
| 5 | 2 | 21 | 20 | 29 | (21, 20, 29) |
| 6 | 1 | 35 | 12 | 37 | (35, 12, 37) |
<div class="tg-wrap"><b>Cara menentukan Tripel Pythagoras</b>
<div class="tg-wrap">
Aljabar dapat digunakan untuk menentukan himpunan bilangan yang
merupakan tripel Pythagoras. Aturan dalam menentukan tripel Pythagoras
adalah :
<div class="tg-wrap">
<ul>
<li>
Tetapkan dua bilangan asli, misalnya $m$ dan $n$ yang memenuhi
\(m>n\)
</li>
<li>Hitunglah masing-masing nilai $m^2-n^2, 2mn$, dan $m^2+n^2$</li>
<li>
Hasil dari perhitungan nilai : $m^2-n^2, 2mn$, dan $m^2+n^2$,
merupakan tripel Pythagoras.
</li>
</ul>
Contoh dari tripel Pythagoras disajikan dalam tabel berikut.
<table class="tg">
<thead>
<tr>
<th class="tg-c2oq">m</th>
<th class="tg-ujl9">n</th>
<th class="tg-6jub">$m^2-n^2$</th>
<th class="tg-ujl9">$2mn$</th>
<th class="tg-ujl9">$m^2+n^2$</th>
<th class="tg-ujl9">Tripel Pythagoras</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td class="tg-hsl1">2</td>
<td class="tg-hsl1">1</td>
<td class="tg-hsl1">3</td>
<td class="tg-hsl1">4</td>
<td class="tg-hsl1">5</td>
<td class="tg-hsl1">3, 4, 5</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-hsl1">3</td>
<td class="tg-hsl1">1</td>
<td class="tg-hsl1">8</td>
<td class="tg-hsl1">6</td>
<td class="tg-hsl1">10</td>
<td class="tg-hsl1">8, 6, 10</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-hsl1">3</td>
<td class="tg-hsl1">2</td>
<td class="tg-hsl1">5</td>
<td class="tg-hsl1">12</td>
<td class="tg-hsl1">13</td>
<td class="tg-hsl1">15, 8, 17</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-hsl1">4</td>
<td class="tg-hsl1">3</td>
<td class="tg-hsl1">7</td>
<td class="tg-hsl1">24</td>
<td class="tg-hsl1">25</td>
<td class="tg-hsl1">7, 24, 25</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-hsl1">5</td>
<td class="tg-hsl1">4</td>
<td class="tg-hsl1">9</td>
<td class="tg-hsl1">40</td>
<td class="tg-hsl1">41</td>
<td class="tg-hsl1">9, 40, 41</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-hsl1">6</td>
<td class="tg-hsl1">5</td>
<td class="tg-hsl1">11</td>
<td class="tg-hsl1">60</td>
<td class="tg-hsl1">61</td>
<td class="tg-hsl1">11, 60, 61</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Catatan : Tripel Pythagoras juga berlaku untuk kelipatannya. Selain
itu, tripel Pythagoras juga terdapat bilangan yang bukan bulat
(pecahan atau irasional),
misalnya $3, 3, 3\sqrt{2}$ atau $\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}$.
Demikian materi tentang tripel Pythagoras, jika ada perbaikan atau
saran, silakan tuliskan di kolom komentar. Terima kasih, semoga
bermanfaat 😊🙏.
<div class="tg-wrap">
