Lingkaran

Pendahuluan

Materi ini membahas pengertian lingkaran, unsur-unsur lingkaran, pendekatan nilai $\pi$, rumus keliling, rumus luas, dan beberapa contoh penerapannya.

Kompetensi Dasar

3.7 Menjelaskan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran serta hubungannya.

4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran serta hubungannya.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, peserta didik diharapkan dapat:

1. Menurunkan rumus keliling lingkaran dari masalah kontekstual.
2. Menurunkan rumus luas lingkaran dari masalah kontekstual.
3. Menjelaskan hubungan sudut pusat dengan panjang busur.
4. Menjelaskan hubungan sudut pusat dengan luas juring.
5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan keliling dan luas lingkaran.

Materi

1. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang semua titiknya berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran. Jarak dari pusat ke titik pada lingkaran disebut jari-jari.

Daerah yang dibatasi oleh lingkaran disebut bidang lingkaran.

2. Unsur-unsur Lingkaran

Beberapa unsur penting pada lingkaran adalah:

1. Pusat lingkaran, yaitu titik yang berjarak sama ke semua titik pada lingkaran, misalnya titik $O$.
2. Jari-jari, yaitu ruas garis dari pusat ke titik pada lingkaran, misalnya $\overline{OA}$, $\overline{OB}$, dan $\overline{OC}$.
3. Diameter, yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusat, misalnya $\overline{AB}$.
4. Busur, yaitu bagian lengkung pada lingkaran, misalnya busur $\widehat{AB}$.
5. Tali busur, yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran, misalnya $\overline{AC}$.
6. Juring, yaitu daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur, misalnya juring $BOC$.
7. Tembereng, yaitu daerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busurnya, misalnya tembereng $ADC$.
8. Apotema, yaitu ruas garis terpendek dari pusat ke tali busur, misalnya $\overline{OE}$.

3. Pendekatan Nilai $\pi$

Keliling lingkaran adalah panjang lintasan sepanjang tepi lingkaran.

Untuk memperkirakan nilai $\pi$, lakukan kegiatan berikut:

1. Ambil beberapa benda berbentuk lingkaran, misalnya uang logam, roda, atau kaleng.
2. Ukur keliling dan diameternya.
3. Hitung perbandingan keliling / diameter.
4. Catat hasilnya pada tabel.

Jika pengukuran dilakukan dengan cukup teliti, nilai perbandingan tersebut akan mendekati bilangan tetap, yaitu $\pi$.

Nilai $\pi$ biasa didekati dengan:

• $\pi \approx 3{,}14$
• $\pi \approx \frac{22}{7}$

4. Keliling Lingkaran

Dari hasil percobaan diperoleh:

Karena $d = 2r$, maka:

Jadi, rumus keliling lingkaran adalah:

dengan:

• $K$ = keliling
• $d$ = diameter
• $r$ = jari-jari

Umumnya $\pi = \frac{22}{7}$ digunakan jika jari-jari atau diameter merupakan kelipatan 7, sedangkan $\pi = 3{,}14$ digunakan untuk nilai lain.

Contoh

1. Hitung keliling lingkaran jika jari-jarinya $21$ cm.
2. Sebuah roda sepeda motor mempunyai jari-jari $28$ cm.
   • Hitung keliling roda.
   • Hitung jarak tempuh jika roda berputar $100$ kali.
3. Sebuah taman berbentuk lingkaran berdiameter $105$ m. Jika setiap $6$ meter di tepinya ditanami pohon palem, berapa banyak pohon yang diperlukan?
4. Tentukan keliling daerah yang diarsir pada dua gambar berikut.

Penyelesaian

Jadi, keliling lingkaran adalah $132$ cm.

Jadi, keliling roda adalah $176$ cm.

Jarak tempuh untuk $100$ putaran:

3. Keliling taman:

Banyak pohon:

Jadi, diperlukan $55$ pohon palem.

4. Gambar pertama:

Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah $82{,}8$ cm.

Gambar kedua:

Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah $66$ cm.

5. Luas Lingkaran

Luas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran.

Salah satu cara menurunkan rumus luas lingkaran:

1. Buat sebuah lingkaran.
2. Bagi menjadi dua bagian sama besar.
3. Bagi lagi menjadi beberapa juring.
4. Susun juring-juring itu hingga menyerupai persegi panjang.

Jika jumlah juring makin banyak, bangun itu akan mendekati persegi panjang dengan:

• panjang $= \frac{1}{2}$ keliling lingkaran
• lebar $= r$

Maka:

Jika dinyatakan dalam diameter:

Jadi, rumus luas lingkaran adalah:

dengan:

• $L$ = luas lingkaran
• $r$ = jari-jari
• $d$ = diameter

Contoh

1. Hitung luas lingkaran jika:
   • jari-jari $10$ cm
   • diameter $7$ cm
2. Tentukan jari-jari lingkaran jika luasnya $154\text{ cm}^2$.
3. Hitung luas daerah yang diarsir pada tiga gambar berikut.

Penyelesaian

1. Jika $r = 10$ cm:

Jadi, luas lingkaran adalah $314\text{ cm}^2$.

Jika $d = 7$ cm:

Jadi, luas lingkaran adalah $38{,}5\text{ cm}^2$.

Jadi, jari-jari lingkaran adalah $7$ cm.

3. Gambar pertama:

Luas persegi besar:

Luas daerah diarsir:

Luas daerah tidak diarsir:

Jadi, luas daerah yang tidak diarsir adalah $70\text{ cm}^2$.

Gambar kedua:

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $10{,}5\text{ cm}^2$.

Gambar ketiga:

Karena ada dua tembereng:

Jadi, luas daerah yang diarsir seluruhnya adalah $112\text{ cm}^2$.

6. Ilusi Optik Lingkaran

Berikut gambar ilusi optik lingkaran yang sebelumnya dibuat menggunakan $\LaTeX$.

7. Simulasi GeoGebra

Simulasi berikut menampilkan bagian-bagian lingkaran. Silakan aktifkan atau nonaktifkan elemen yang ingin diamati.

8. Simulasi Keliling dan Luas Lingkaran

Pada simulasi berikut, geser pengatur jari-jari untuk melihat perubahan keliling dan luas lingkaran.

9. Evaluasi

Latihan evaluasi interaktif lama pada artikel ini berasal dari layanan pihak ketiga dan embed aslinya sudah tidak stabil untuk tema saat ini. Untuk itu, bagian embed rusak dihapus agar halaman tetap tampil utuh.

Jika diperlukan, evaluasi dapat diganti pada batch berikutnya dengan:

1. shortcode Hugo yang stabil,
2. tautan keluar ke lembar kerja,
3. atau komponen kuis lokal.

Demikian materi lingkaran dan unsur-unsurnya. Jika ada koreksi atau saran, silakan tuliskan melalui kanal komentar yang tersedia.