KERUCUT

Pendahuluan

Kerucut adalah bangun ruang sisi lengkung yang memiliki satu alas berbentuk lingkaran dan satu titik puncak. Materi ini membahas unsur-unsur kerucut, garis pelukis, jaring-jaring, luas sisi, volume, serta beberapa contoh soal yang sering muncul.

A. Kompetensi Dasar

3.7 Membuat generalisasi luas permukaan dan volume bangun ruang sisi lengkung, khususnya tabung, kerucut, dan bola.
4.7 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan luas permukaan dan volume bangun ruang sisi lengkung serta gabungan beberapa bangun ruang tersebut.

B. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, diharapkan dapat:

1. menyebutkan unsur-unsur kerucut,
2. menghitung luas alas, luas selimut, dan luas sisi kerucut,
3. menghitung volume kerucut,
4. menentukan unsur kerucut jika data lain diketahui,
5. menghitung perbandingan volume akibat perubahan ukuran.

C. Materi

1. Unsur-Unsur Kerucut

Perhatikan gambar berikut.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipRkyYJwojSRjEP4QDXqpWp-KRgJ_zyQ5WBrec-OVLQZEL0YDD4cwlWw6yRJcrv3VGrdIm6RtU9PIkVBcGz1rrJp6D9aR_LP-VsgP3r87kEdvTt21z6baSf9GuDCeT1pOpQqmbZWrYtJS5ELzxsIO9VAVqit3iZOY8s18rxmeYi9JmOEJSd1XaGiCI/s1280/kerucut.png)

Kerucut memiliki:

• satu sisi datar berbentuk lingkaran sebagai alas,
• satu sisi lengkung yang disebut selimut,
• satu titik puncak,
• satu jari-jari alas $r$,
• satu tinggi kerucut $t$,
• satu rusuk lengkung pada pertemuan alas dan selimut.

2. Garis Pelukis Kerucut

Perhatikan segitiga siku-siku berikut.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXDsuQZIn3fc4P9dU1QaRQy3WgYJGBNTI-yOKEFecoJiJGAB45fbTHLuUvM5y3aQITtv0nNS7exnGp6Iz3pF8MTbXrzM_VA3nicru9IsVwwtUbo9eOiEwdYQBm36HdKa6dy3QeXoA9qnY/s253/kerucut1.png)

Jika segitiga itu diputar terhadap tingginya, akan terbentuk kerucut seperti berikut.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQMmr8cibcUHh8FddJA9zq8GpNGMiQ_maOL6y0eETO71v5Gg8jLJbyYQpXeqOZmP80PdTdTVm1b0Pmv038WLfGGshTh94pVn-Ri3BnLlMjcvGaI6dKKc_u2Fc_j1ilrivI68q4YjXDONc/s310/kerucut2.png)

Ruas garis dari puncak ke titik-titik pada keliling alas disebut garis pelukis, dilambangkan dengan $s$.

Dengan teorema Pythagoras:

$$s^2=t^2+r^2$$

atau

$$s=\sqrt{t^2+r^2}$$

3. Jaring-Jaring Kerucut

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3qysAQ50IeUTAk7v0xUsixfxBI7w8Pj1mo0jOlLJ8DW0IsUBH_imp7gLqY0VXdpO2Ha9xzg_AsTOYg7q998pweVcYodmIs_V08kL6XkYIvU2PzpqpceLeY3bS4Z5va67sn7AQWAMKF6A/s307/kerucut3.png)

Jika selimut kerucut dibuka, akan diperoleh jaring-jaring seperti berikut.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVhCobjqQli5HC7zHsPOc2rRSnWaD_hPte2gU-VQ_zhfZvM4PELTonrRplZUPokgleEL859I_cv5QioB02BwVPXmBSJxscIrvS6hiv9Q3tDhzn-o0gUW7hofav-UG2YjTljOM0oghn9xY/s337/kerucut4.png)

Jaring-jaring kerucut terdiri atas:

• satu lingkaran berjari-jari $r$,
• satu juring lingkaran berjari-jari $s$ dengan panjang busur $2\pi r$.

4. Luas Sisi Kerucut

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCCqadpoQWCk7tgN2JkA0D3z0GGwRqXfsbjb3IHv7G5NPgzH_IBeHowzdZFwG1hRr89H3L7ueyBwOKx02g36aL4OLO0-u8qKPXbAI61e1oirc1mLBLxlQPPBYCvbVNCXyYOF0FdVxJHg0/s545/kerucut5.png)

Selimut kerucut berbentuk juring. Luas selimut kerucut adalah:

$$L_s=\pi rs$$

Karena luas sisi kerucut terdiri dari luas alas dan luas selimut, maka:

$$L=\pi r^2+\pi rs$$

atau

$$L=\pi r(r+s)$$

Contoh 1

Sebuah kerucut memiliki $r=6$ cm dan $t=8$ cm. Hitung luas sisinya dengan $\pi=3{,}14$.

Panjang garis pelukis:

$$s=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$

Luas sisi:

$$L=\pi r(r+s)=3{,}14\times 6\times (6+10)=301{,}44$$

Jadi, luas sisi kerucut adalah:

$$301{,}44\text{ cm}^2$$

Contoh 2

Jika $r=7$ cm dan $s=14$ cm:

$$L=\pi r(r+s)=\frac{22}{7}\times 7\times (7+14)=462$$

Jadi, luas sisi kerucut adalah:

$$462\text{ cm}^2$$

5. Volume Kerucut

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzglDu0ocqWjno7QKgpGHwKLDjNAgs221l2e1ICHEZez_b-QwlQ5JHxYCq5cuBmxxcjnD2ruUGFdJO_8qE-a0KRuXxzPi4r23ivOetNXw2W8wzd9uemTerwKA7tDfGCMN4LHd8UrKXIyY/s349/kerucut8.png)

Kerucut dapat dipandang sebagai bentuk limit dari limas beraturan dengan alas yang semakin banyak sisinya.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiw4JhLC8tVJJ9p8eLC_3XqK-yQBHv95Th6kmt7OblScK-UY6BYZsKwptTQsfwaIaXwCBc6V2wGEHEVKp4wVAJbDzncg9wERCEgJW9q7ISZq_iSSY2Vpz9bu04Bfrs7mu2GRieV9iVyxdY/s276/kerucut9.png)

Rumus volume kerucut:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^2 t$$

Jika menggunakan diameter $d$, maka:

$$V=\frac{1}{12}\pi d^2 t$$

Contoh 1

Jika $r=9$ cm dan $t=4$ cm:

$$V=\frac{1}{3}\times 3{,}14\times 9^2\times 4=339{,}12$$

Jadi, volume kerucut adalah:

$$339{,}12\text{ cm}^3$$

Contoh 2

Diketahui volume kerucut $314\text{ cm}^3$ dan jari-jari alas $5$ cm. Tentukan garis pelukisnya.

Cari tinggi:

$$314=\frac{1}{3}\times 3{,}14\times 5^2\times t \Rightarrow t=12$$

Kemudian garis pelukis:

$$s=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$$

Jadi, garis pelukis kerucut adalah:

$$13\text{ cm}$$

Contoh 3

Perhatikan bangun gabungan tabung dan kerucut berikut.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj90DQhSJwOIRyllXgCLVeyP033sXYn8wLQOz90_2L2ZlpVmY6R_seOdJiUqTcR38KxEiYpjliR4jV3rF_SXjvvkL4EvlLgazEEY7njOmWafHEwJoRbCNOhzxcLHG76RUaa8pymbCvBoBc/s323/kerucut7.png)

Misalkan volume tabung:

$$V_{\text{tabung}}=\pi r^2 t=\frac{22}{7}\times 7\times 7\times 10=1540$$

Dan volume kerucut:

$$V_{\text{kerucut}}=\frac{1}{3}\pi r^2 t=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7}\times 7\times 7\times 9=462$$

Total volume bangun:

$$1540+462=2002\text{ cm}^3$$

6. Perbandingan Volume Akibat Perubahan Jari-Jari

Jika jari-jari berubah dari $r$ menjadi $r+a$, sedangkan tinggi tetap, maka:

$$V:V_{\text{baru}}=r^2:(r+a)^2$$

Jika jari-jari menjadi $k$ kali semula, maka:

$$V:V_{\text{baru}}=1:k^2$$

Contoh

Sebuah kerucut berjari-jari 2 cm.

1. Jika jari-jari bertambah 1 cm:

$$V:V_{\text{baru}}=2^2:3^2=4:9$$

2. Jika jari-jari menjadi 3 kali semula:

$$V:V_{\text{baru}}=1:3^2=1:9$$

D. Simulasi GeoGebra

Silakan gunakan simulasi berikut untuk melihat hubungan antara jari-jari, tinggi, garis pelukis, luas sisi, dan volume kerucut.

E. Evaluasi

Kerjakan latihan berikut untuk menguji pemahaman.

1. Hitung luas sisi kerucut jika diketahui jari-jari dan tingginya.
2. Hitung volume kerucut jika diketahui diameter dan tinggi.
3. Tentukan garis pelukis jika diketahui jari-jari dan volume.
4. Tentukan perbandingan volume jika jari-jari berubah.

F. Video Pembelajaran

Video penjelasan materi dapat disimak melalui tautan berikut: