Kesebangunan dan Kekongruenan

Pendahuluan

Materi ini membahas dua konsep penting dalam geometri, yaitu kesebangunan dan kekongruenan. Keduanya digunakan untuk membandingkan dua bangun berdasarkan bentuk, ukuran, dan hubungan antar sisi maupun sudut.

Kompetensi Dasar

1. Menjelaskan dan menentukan kesebangunan serta kekongruenan antarbangun datar.
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kesebangunan dan kekongruenan antarbangun datar.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, diharapkan dapat:

1. membedakan bangun yang sebangun dan yang tidak sebangun,
2. membedakan bangun yang kongruen dan yang tidak kongruen,
3. menentukan panjang sisi yang belum diketahui pada bangun sebangun,
4. menyebutkan syarat dua segitiga kongruen,
5. membuktikan dua segitiga sebangun,
6. menggunakan perbandingan pada segitiga sebangun untuk menyelesaikan soal.

A. Kesebangunan Bangun Datar

1. Dua Bangun Datar yang Sebangun

Perhatikan gambar berikut.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_ZKZ8mIt3mtQ7IcEhkZABSwGgu2UkpldYZYeBiQcblMFXUNzkLYDWy9J5DEcYJvHfEtVufEPRwgPVCKQDBixAWxnS-iRk0Gt7vRX6RUMGLfcJg1Npb6zBINqZf3gJb5hXBNuIK1oQ4Ok/s645/kesebangunan1.png)

Misalkan persegi panjang $ABCD$ dan $PQRS$ memiliki pasangan sisi yang bersesuaian:

• $\overline{AB}$ dengan $\overline{PQ}$
• $\overline{BC}$ dengan $\overline{QR}$
• $\overline{CD}$ dengan $\overline{RS}$
• $\overline{AD}$ dengan $\overline{PS}$

Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian:

$$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CD}{RS}=\frac{AD}{PS}=\frac{1}{2}$$

Sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar:

$$\angle A=\angle P,\quad \angle B=\angle Q,\quad \angle C=\angle R,\quad \angle D=\angle S$$

Karena perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka:

$$ABCD \simeq PQRS$$

Jadi, dua bangun datar dikatakan sebangun jika:

1. sisi-sisi yang bersesuaian berbanding senilai,
2. sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh

Perhatikan dua layang-layang berikut.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEje57Ka8U_khSvjjx7wqeWJL_dJWzwjCIuDvLXqw82F_MUHDJ2fme2Cw9DMbOoLKHMqTZ2BlI4EidMd6-RdPJ8oi19zKMcbF8SjzOzKGbEYjlIDRi0CBtP25zMCEkTPdM31kekHGSGokyU/s424/kesebangunan2.png)

Dengan menggunakan sifat layang-layang, dapat diperoleh bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisinya memiliki rasio yang sama, yaitu:

$$\frac{BC}{FG}=\frac{DC}{GH}=\frac{AD}{EH}=\frac{AB}{EF}=\frac{3}{2}$$

Maka:

$$ABCD \simeq EFGH$$

2. Dua Bangun yang Sama Bentuk dan Ukurannya

Perhatikan dua uang kertas berikut.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI1ir1U_jQodqelyRcsIuJMQvycYjp_TN6QGbudoAvnoztN3NyQjYDOqVNMUuzHhglobGeqC8oaVO54v1HyjxelMFc26hK8h7px-WRxJl7sOa_KTCyPY1QtFmSZWA_2YAENi8ookan9aU/s598/kekongruenan.jpg)

Jika semua sisi yang bersesuaian sama panjang dan semua sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua bangun itu kongruen.

Dua bangun dikatakan kongruen jika:

1. sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang,
2. sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLPU8t53gBSAUo-wNN_dRqS171cf9PLgMBNC6f-XhxAXfMVkScqOfza-aUt3Co5BqMkgJbZ_D0Y_jHk51cdxs0KS_r09fK4ZhIy1Le6UtZ_L9RxHiYKlh6CpIIF6WeYwnOp0ro5uFSPME/s515/kongruen.png)

Jika pada dua belah ketupat semua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka:

$$ABCD \cong EFGH$$

3. Menghitung Sisi yang Belum Diketahui

Kesebangunan dapat digunakan untuk mencari panjang sisi yang belum diketahui.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJQBiMpX0atYxR0E3PN_I2QPKK-cdNB-Mbbjro5XNseyXJom6WbsdEQXQjyNo7oxhkSaR_PP-7gYFCXzoMpp1bG3WguXom50dilJKFoF1MgNfM6bMWu134jO-eqjbER6mjlLdoRJv3TmQ/s474/kesebangunan3.png)

Jika diketahui:

$$\frac{21}{9}=\frac{7}{3}$$

maka:

$$\frac{7}{x}=\frac{7}{3}\Rightarrow x=3$$

dan

$$\frac{14}{y}=\frac{7}{3}\Rightarrow y=6$$

Jadi:

$$x=3\text{ cm},\quad y=6\text{ cm}$$

B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun

1. Syarat Segitiga Sebangun

Perhatikan gambar berikut.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjirwFZW0aUIfzMvtQs21NnXaXnrwM7UPEKhc8dyAVA0M7fgEozm6B8aX3Urjvd3Q5uT8jZm1ONywf9F2uQQ3jaT9itklYEWsE-Zg9lTBPXYw6xi6_yZ5gb6POedOlynCeeVK4BCtgXnWA/s856/kesebangunan4.png)

Jika:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$$

dan sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar, maka:

$$\triangle ABC \simeq \triangle DEF$$

Secara umum, dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut:

1. sisi-sisi yang bersesuaian berbanding senilai,
2. dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBQwbXpGi1ce029mlo_k2LmLej3MHyZiCU-Onq_Nc6Q7tAgfhB5gX4ukUVr3hVbr326TnbjQsupqCwcf_-DizYJ3TiJM_rfjnfyQ5lHsuLkLXZz7pvUslXwImQxFC5ERzE88wNpe-tzWI/s446/kongruen1.png)

Jika:

$$\frac{KL}{PQ}=\frac{LM}{QR}=\frac{KM}{PR}=\frac{2}{3}$$

maka:

$$\triangle KLM \simeq \triangle PQR$$

2. Kesebangunan Khusus pada Segitiga Siku-Siku

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRWDMxs_XheXiZ3UMOFiFfI2efQ0TT_u1ay_ji8aveskfxFN3V4-fNRt1IclkcdxORpzYksOv4U95c3Rtd0F4uDVQrD9u_4gIPbIC1uOv3rSAe-uBX0SexWH8M1-tYrKejpOU84bdGfuo/s295/kongruen2.png)

Pada segitiga siku-siku berlaku hubungan penting:

1. $AD^2=BD\times CD$
2. $AB^2=BD\times BC$
3. $AC^2=CD\times CB$

Contoh

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAcL4-UHAsf-KJuj9R3FAcyd7wTnIPp2DXRKCvNyy57r1XbGXTj127CwL9FzC0hSOVTjnUzqnuKTE6dDjJiIG4JHVIwId4jTPrhfkcPHhSbo8O_s74wJV9zN27j5rXcSJDE80-ZVRip1U/s287/kongruen3.png)

Jika $AB=6$ cm dan $BC=8$ cm, maka:

$$AC=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ cm}$$

Selanjutnya:

$$AB^2=AD\times AC\Rightarrow 36=10AD\Rightarrow AD=3{,}6\text{ cm}$$$$DC=10-3{,}6=6{,}4\text{ cm}$$$$BD^2=AD\times DC=3{,}6\times 6{,}4=23{,}04$$$$BD=4{,}8\text{ cm}$$

3. Menghitung Sisi pada Segitiga Sebangun

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgq72y5ddBnTZBVnwYLjgT9lZoyh39L88mA-fbOkqgd3lgGLG_pzgHf91fukGAu-5u4-xkgclQMUqKmQBH0Nx20aR_xWjddD-Q8Se4X-ZFXaAlk4iChFrjB2l8WOfsSrtqI4xFdUHRVd5g/s474/kongruen4.png)

Jika $\triangle ABC \simeq \triangle DEF$, maka:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$$$$\frac{12}{6}=\frac{15}{EF} \Rightarrow EF=7{,}5\text{ cm}$$

Contoh lain:

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihUjZzch7oIfocLwS9nH6uvd4MGZkSOZdPPFATO2JHcNe87nAcBMwfiXLnhgFUisa7lrYe_YIp3qTD60BUSBA0AKtz_IH6hJTbbD43ni5epjU7ZtAIBJDI768eRYumI_LShxhDImGTe4c/s293/kongruen5.png)

Karena $\triangle AED \simeq \triangle BCE$, maka:

$$\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{CE}$$$$\frac{9}{16}=\frac{AE}{12} \Rightarrow AE=6{,}75\text{ cm}$$

4. Garis-Garis Sejajar pada Sisi Segitiga

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOwyY4A6iCEAKuubHHgifqXjVOdsmyqNAcFzrv_l_USj2QlSQ8pKebR_Bly0vVtCgT93W4auN2owWNcAbRDJWQfbC7c6o5EmEsrz2jeKbdvD1EzPcR_PmF3aXsJHRrIZPxlXHF19nO7LA/s481/kongruen6.png)

Jika $DE\parallel AB$, maka:

$$\triangle DEC \simeq \triangle ABC$$

Akibatnya:

$$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{BC}=\frac{DE}{AB}$$

Hubungan ini sering dipakai untuk menurunkan rumus:

$$\frac{d}{a}=\frac{c}{b}$$

Contoh

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9lsjToGeqTzQv4CQUmLPG5gG54wIU_RBF3s3vt8quu8Kg-gaQVKKOjEdfRlRK6-6kzgpVsvBhj-FRxrNyUacpmEAd_T6s0sBm9-bUR3ecndZL5MplGR2lcp_56Fz1Bv5n1fxrv8gdJmE/s426/kongruen7.png)

Jika $\overline{PT}\parallel \overline{QS}$, maka:

$$\frac{QS}{PT}=\frac{QR}{PQ+QR}$$$$\frac{3}{4}=\frac{QR}{2+QR} \Rightarrow QR=6\text{ cm}$$

Lalu:

$$\frac{QS}{PT}=\frac{RS}{ST+RS}$$$$\frac{3}{4}=\frac{4}{ST+4} \Rightarrow ST=\frac{4}{3}\text{ cm}$$

5. Soal Cerita Kesebangunan

Dua contoh yang sering muncul:

1. menentukan tinggi tiang dari tongkat pembanding,
2. menentukan ukuran foto atau bingkai yang sebangun.

Untuk tiang dan tongkat:

$$\frac{2}{t}=\frac{3}{9}\Rightarrow t=6$$

Jadi, tinggi tiang listrik adalah 6 m.

Untuk bingkai foto:

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGbJAGPh8lQCrQsTcTdJrPk4FAmZJKcDQfBrIB3Hl4jhqAOx0c36AExis7sJQT1tlwZRwhAH5quh4gBPtXrX-pi02SRgUhAROFvaXqFIadRd-peX7ab6EuTWhUolY04D6Gx-re7lebILI/s307/kongruen12.png)

$$\frac{54-x}{60}=\frac{28}{40}=\frac{7}{10}$$$$54-x=42\Rightarrow x=12$$

Jadi, sisa bingkai di bawah foto adalah 12 cm.

C. Segitiga-Segitiga yang Kongruen

1. Sifat-Sifat Segitiga Kongruen

Segitiga-segitiga yang kongruen memiliki:

1. bentuk yang sama,
2. ukuran yang sama,
3. sisi-sisi bersesuaian yang sama panjang,
4. sudut-sudut bersesuaian yang sama besar.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjY1KhS3uwpgCLsHzjagznwWF58gG_Dw7QFSMsrsDfj_WGW7iZvWyWussyL6v8nBXfviKaVpWGfDvL7dgXnFZb1i_RkHxSsiHi41QXX02UEAOTIS2f0dDDri5olOCeL0Vs0RI75v7uvReo/s514/kongruen8.png)

2. Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua segitiga kongruen jika memenuhi salah satu syarat berikut:

1. SSS: ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang,
2. SAS: dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut apitnya sama besar,
3. ASA: dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi penghubungnya sama panjang.

a. SSS

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxfQu3wweo2717qoYWnybjxlCqoAU1jieZP4bA9JsNpI07JEL7-4F1rexBMDVTsufA8KoX5k3uYSTd54YES8VN9eiCuzW740S6rwisPAe3WTOlMT963KqTUbO0xMwtzYb7WKvqOnlLVIs/s480/kongruen9.png)

Jika:

$$AB=DE,\quad BC=EF,\quad AC=DF$$

maka:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

b. SAS

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMSyW8WFjUkzKMd7T86mJudESYC9RrC4B7-fpllf1jDyyYbA49r75KpTDm22Bs6gvrMSLkgqvfovWJlCSKCxi6of0rHYjHFEulXAWcwSVaskj8nV_V3ILhciFM8TS8bIZ8n2n_5RyjD00/s448/kongruen11.png)

Jika:

$$AB=DE,\quad AC=DF,\quad \angle BAC=\angle EDF$$

maka:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

c. ASA

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdRI1oBtJiRc5ROsGFOdUXCbyxMRGQ89OnC2q8fDMU8aEXlpGaenlVPDSqW9uiRdPHnvyun-BJGZelDfypoczD7_dZ940yJzzAUV-SED2DOrl2BNEljwu5pmNtbZQlnNY_l29Mo91yOoU/s425/kongruen10.png)

Jika:

$$AB=DE,\quad \angle A=\angle D,\quad \angle B=\angle E$$

maka:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Contoh pada Layang-Layang

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLM0hBvOROOw3Ae1pqvEdSlHeSme9n2U5bm_Dduey6pLp1Q7BNYQF_9Rusp1ocPqlqmLwljEqaP88rBB7T-Wx7GqhHWk0XWnG4urc4cE8Swidt6yivAU6akCcBRiWbGuQCD4UaBtc939U/s334/kongruen12.png)

Beberapa pasangan segitiga kongruen yang dapat ditemukan:

1. $\triangle AED \cong \triangle ABE$
2. $\triangle DEC \cong \triangle BEC$
3. $\triangle ACD \cong \triangle ABC$

D. Menghitung Sisi dan Sudut pada Segitiga Kongruen

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoPAegiuVDnz6SJiq1LeKs66CLxI3QW9ZCHWZtJtWZLMIDzSdQWmqsd1yLW_q9LMC2q9juWguxnnY85CTxr082yvR-G7PbqybRmFdMMBeCItjXL-3jBpKBUSAG1aUhyphenhyphenWb_tABxsz3gneE/s310/kongruen13.png)

Jika $\triangle KNM \cong \triangle LNM$, maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang:

$$KM=ML=10\text{ cm},\quad KN=LN=5\text{ cm}$$

Panjang $MN$:

$$MN=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\text{ cm}$$

Jika $\angle NKM=60^\circ$, maka:

$$\angle MLN=60^\circ$$

dan

$$\angle KMN=\angle NML=30^\circ$$

E. Simulasi GeoGebra

Silakan geser titik-titik pada simulasi berikut untuk melihat perubahan bentuk segitiga sebangun dan kongruen.

Terlihat bahwa:

$$\triangle ABC \sim \triangle DEF$$

dan

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$$

F. Evaluasi

Setelah mempelajari materi ini, cobalah kerjakan soal berikut.

1. Seseorang berdiri pada jarak 2 meter dari tiang lampu dan memiliki bayangan sepanjang 3 meter. Jika tinggi orang itu 1,8 meter, berapa tinggi tiang lampu?
2. Sebuah foto berukuran 12 cm x 15 cm diletakkan pada karton. Pada sisi atas, kiri, dan kanan masih tersisa karton selebar 2 cm. Jika foto dan karton sebangun, berapa luas karton?
3. Jika $AD:DB=2:1$ dan $DE=6$ cm, tentukan panjang $BC$.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAfvmUiwjiMsp67EffHapOXv72iMba6cuCCavTUvRCNO2qcHyJ4vM1L0f07BVXwEy68MnawhwO9yfs6TpSbq6o8cgqdZgVRNVk8EUfOEpxZS3XnWwc9VUn6hzdmXpC-tLRwbJPCuMDt7g/s298/kongruen15.png)

4. Pada trapesium dengan $AB\parallel CD$ dan $EF\parallel AB$, jika $DE:EA=5:3$, $CD=2$ cm, dan $AB=10$ cm, tentukan panjang $EF$.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3yrIjC9oDrg3E2EQtArm8SXf0_4lgWgB0qU_1GQOHZBtPV0cMEb2j_o4wCmO8Ea6_Fgv20eG4aBN0QUjABbXbbX3U5T908T3upTJ8OcbtnFHv8D2XM_UWxQ432pcStFcD8boyWzPdnTg/s353/kongruen16.png)

5. Jika diketahui $AB=CD=8$ cm dan $AD=20$ cm, tentukan panjang $BC$.

[

](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg38SxRpYzmBStVr5LO46cwnmiS3zQVfXOjDmkiR9-0I1119TzNKqHlw7cqOFsJrYZ9GF_IOAAUgNbmEN1y2mVDYwS6_6jq-ZvRt4ZXttidu5S90PAAinoAQHRvVE7G7Z2dg8BRVKlkpiQ/s317/kongruen17.png)

Materi ini dapat dipakai sebagai dasar untuk menyelesaikan banyak soal geometri yang berkaitan dengan rasio, perbandingan, dan sifat segitiga.