Pos Ebook Tex Tentang Saya

Daftar Isi

Daftar Isi

Teorema Pythagoras

Aan Triono avatarAan Triono   di Kelas 8
     910 kata   4 menit 
Teorema Pythagoras, kebalikannya, tripel Pythagoras, segitiga khusus, diagonal kubus, dan contoh soal penerapan.

Pada segitiga siku-siku, terdapat hubungan khusus antara sisi miring dan dua sisi siku-sikunya. Hubungan inilah yang dikenal sebagai teorema Pythagoras.

3.6 Menjelaskan dan membuktikan teorema Pythagoras serta tripel Pythagoras.

4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.

Setelah mempelajari materi ini, peserta didik diharapkan dapat:

  1. Memeriksa kebenaran teorema Pythagoras.
  2. Menentukan panjang sisi segitiga siku-siku jika dua sisi lainnya diketahui.
  3. Menentukan jenis segitiga berdasarkan panjang sisi-sisinya.
  4. Menguji apakah tiga bilangan membentuk tripel Pythagoras.
  5. Menerapkan teorema Pythagoras pada masalah nyata.

Teorema Pythagoras

Segitiga ABCABC siku-siku di BB. Sisi di hadapan sudut siku-siku disebut hipotenusa atau sisi miring, sedangkan dua sisi lainnya disebut sisi siku-siku.

Pembuktian Pythagoras

Dari susunan persegi dan segitiga pada gambar, diperoleh:

luas persegi besar=a2+2bcluas persegi besar=b2+c2+2bc \begin{aligned} \text{luas persegi besar} &= a^2 + 2bc \\ \text{luas persegi besar} &= b^2 + c^2 + 2bc \end{aligned}

Karena kedua persegi besar mempunyai luas yang sama, maka:

a2+2bc=b2+c2+2bca2=b2+c2 \begin{aligned} a^2 + 2bc &= b^2 + c^2 + 2bc \\ a^2 &= b^2 + c^2 \end{aligned}

Makna luas pada sisi-sisi segitiga

Segitiga siku-siku

Artinya, pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya.

Rumus Pythagoras

Jika sisi miring adalah aa dan kedua sisi siku-siku adalah bb dan cc, maka:

a2=b2+c2 a^2 = b^2 + c^2

atau

a=b2+c2 a = \sqrt{b^2 + c^2}

Bentuk turunannya:

b=a2−c2c=a2−b2 b = \sqrt{a^2 - c^2} \qquad c = \sqrt{a^2 - b^2}

Teorema Pythagoras digunakan untuk menentukan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika dua sisi lainnya diketahui.

Contoh penggunaan Pythagoras

  1. Untuk gambar (a):
a2=132−122=169−144=25a=5 \begin{aligned} a^2 &= 13^2 - 12^2 \\ &= 169 - 144 \\ &= 25 \\ a &= 5 \end{aligned}
  1. Untuk gambar (b):
b2=172−152=289−225=64b=8 \begin{aligned} b^2 &= 17^2 - 15^2 \\ &= 289 - 225 \\ &= 64 \\ b &= 8 \end{aligned}
  1. Untuk gambar (c):
c2=242+72=576+49=625c=25 \begin{aligned} c^2 &= 24^2 + 7^2 \\ &= 576 + 49 \\ &= 625 \\ c &= 25 \end{aligned}

Jika pada suatu segitiga berlaku:

a2=b2+c2 a^2 = b^2 + c^2

maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku.

Kebalikan teorema Pythagoras

Kesimpulan umum, jika cc adalah sisi terpanjang:

  1. Jika c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2, segitiga siku-siku.
  2. Jika c2>a2+b2c^2 > a^2 + b^2, segitiga tumpul.
  3. Jika c2<a2+b2c^2 < a^2 + b^2, segitiga lancip.
  1. Sisi-sisi segitiga adalah 55, 1212, dan 1313.
132=169,122+52=144+25=169 13^2 = 169,\qquad 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169

Karena sama, segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

  1. Sisi-sisi segitiga adalah 99, 77, dan 55.
92=81,72+52=49+25=74 9^2 = 81,\qquad 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74

Karena 81>7481 > 74, segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang dapat menjadi panjang sisi-sisi segitiga siku-siku.

Contoh:

  1. 1515, 2020, dan 2525
152+202=225+400=625=252 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2

Jadi, ketiganya merupakan tripel Pythagoras.

  1. 2020, 2424, dan 2929
202+242=400+576=976≠292 20^2 + 24^2 = 400 + 576 = 976 \neq 29^2

Jadi, ketiganya bukan tripel Pythagoras.

Segitiga siku-siku sama kaki

Jika AB=BC=aAB = BC = a, maka:

AC2=AB2+BC2=a2+a2=2a2AC=a2 \begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\ &= a^2 + a^2 \\ &= 2a^2 \\ AC &= a\sqrt{2} \end{aligned}

Maka perbandingan sisi-sisinya:

AB:BC:AC=1:1:2 AB : BC : AC = 1 : 1 : \sqrt{2}

Contoh segitiga 45 derajat

Jika AC=82AC = 8\sqrt{2}, maka:

AB=BC=8 AB = BC = 8

Segitiga 30 derajat

Segitiga 60 derajat

Dari konstruksi segitiga tersebut diperoleh:

BC:AC:AB=1:2:3 BC : AC : AB = 1 : 2 : \sqrt{3}

Artinya:

  • sisi di depan sudut 30∘30^\circ adalah yang paling pendek,
  • hipotenusa = 2 kali sisi di depan sudut 30∘30^\circ,
  • sisi lainnya = 3\sqrt{3} kali sisi di depan sudut 30∘30^\circ.

Contoh segitiga 30 derajat

Jika AB=33AB = 3\sqrt{3}, maka:

AC=6,BC=3 AC = 6,\qquad BC = 3

Kubus dan diagonalnya

Jika panjang rusuk kubus adalah aa, maka diagonal bidang:

BG2=BC2+CG2=a2+a2BG=a2 \begin{aligned} BG^2 &= BC^2 + CG^2 \\ &= a^2 + a^2 \\ BG &= a\sqrt{2} \end{aligned}

Diagonal ruang:

AG2=AB2+BG2=a2+2a2AG=a3 \begin{aligned} AG^2 &= AB^2 + BG^2 \\ &= a^2 + 2a^2 \\ AG &= a\sqrt{3} \end{aligned}

Jadi, untuk kubus dengan rusuk aa:

  • diagonal bidang = a2a\sqrt{2}
  • diagonal ruang = a3a\sqrt{3}

Langkah umum menyelesaikan soal cerita dengan teorema Pythagoras:

  1. Baca soal dengan cermat.
  2. Buat sketsa atau gambar.
  3. Tentukan sisi-sisi yang diketahui dan yang dicari.
  4. Gunakan rumus yang sesuai.
  5. Periksa kembali hasilnya.

Andi menyandarkan tangga sepanjang 55 m ke sebuah pohon. Jarak kaki tangga ke pangkal pohon adalah 33 m. Berapa tinggi ujung atas tangga dari tanah?

Soal tangga

52=32+h225=9+h2h2=16h=4 \begin{aligned} 5^2 &= 3^2 + h^2 \\ 25 &= 9 + h^2 \\ h^2 &= 16 \\ h &= 4 \end{aligned}

Jadi, tinggi ujung atas tangga dari tanah adalah 44 m.

Sebuah kapal berlayar ke barat sejauh 66 km, lalu ke selatan sejauh 88 km. Berapa jaraknya sekarang dari titik awal?

Soal kapal

x2=62+82=36+64=100x=10 \begin{aligned} x^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 36 + 64 \\ &= 100 \\ x &= 10 \end{aligned}

Jadi, jarak kapal dari titik awal adalah 1010 km.

Evaluasi interaktif lama pada artikel ini berasal dari layanan embed pihak ketiga yang sudah tidak stabil untuk tema blog saat ini. Bagian embed tersebut dihapus agar halaman tetap tampil utuh dan bersih.

Penggantinya dapat disiapkan pada batch berikutnya dalam bentuk:

  1. shortcode Hugo yang stabil,
  2. tautan keluar ke lembar kerja,
  3. atau kuis lokal di dalam blog.

Demikian materi teorema Pythagoras. Jika ada koreksi atau saran, silakan disampaikan melalui kanal komentar yang tersedia.

Teorema Pythagoras, kebalikannya, tripel Pythagoras, segitiga khusus, diagonal kubus, dan contoh soal penerapan.

PELUANG

Teorema Pythagoras, kebalikannya, tripel Pythagoras, segitiga khusus, diagonal kubus, dan contoh soal penerapan.

STATISTIKA

Teorema Pythagoras, kebalikannya, tripel Pythagoras, segitiga khusus, diagonal kubus, dan contoh soal penerapan.

LIMAS

Teorema Pythagoras, kebalikannya, tripel Pythagoras, segitiga khusus, diagonal kubus, dan contoh soal penerapan.

PRISMA

Teorema Pythagoras, kebalikannya, tripel Pythagoras, segitiga khusus, diagonal kubus, dan contoh soal penerapan.

Lingkaran

Diperbarui pada 2026-08-08
 Materi Kelas 8
 | Beranda