SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Pendahuluan

Kompetensi Dasar

3.5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual.

4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, peserta didik diharapkan dapat:

1. menjelaskan pengertian persamaan linear dua variabel,
2. menjelaskan bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel,
3. menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan campuran,
4. menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan SPLDV.

Materi

1. Persamaan Linear Dua Variabel

Perhatikan beberapa contoh persamaan berikut.

1. $2x + 2y = 1$
2. $\dfrac{m}{n} - \dfrac{n}{2} = 5$
3. $5p + 6q = -20$

Ketiga persamaan tersebut mempunyai dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu. Karena itu, persamaan-persamaan tersebut merupakan contoh persamaan linear dua variabel.

Catatan

Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk umum $ax + by = c$ dengan $a,b,c \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$, dan $b \neq 0$.

Penentuan solusi persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan menerka atau menggunakan operasi aljabar.

Contoh

Tentukan solusi $(x,y)$ pada bilangan bulat nonnegatif yang memenuhi persamaan:

Karena $(x,y)$ bilangan bulat nonnegatif, maka nilainya berasal dari bilangan cacah.

Jika $x=0$, maka:

Jika $x=3$, maka:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang menggunakan variabel yang sama.

Bentuk umum

$$> \left\{ > \begin{aligned} > a_1x+b_1y&=c_1 \\ > a_2x+b_2y&=c_2 > \end{aligned} > \right. >$$

Contoh:

1. $\left\{\begin{aligned}2x+y&=-5\\3x+5y&=-4\end{aligned}\right.$
2. $\left\{\begin{aligned}y&=3x-2\\2x+y&=8\end{aligned}\right.$

Penyelesaian SPLDV

SPLDV dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu:

1. metode grafik,
2. metode substitusi,
3. metode eliminasi,
4. metode campuran.

3. Metode Grafik

Pada metode grafik, penyelesaian SPLDV adalah titik potong dua garis pada bidang koordinat Kartesius.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:

Untuk menggambar kedua garis, tentukan titik potong dengan sumbu koordinat terlebih dahulu.

Untuk persamaan $x+y=5$:

Untuk persamaan $x-y=1$:

Berdasarkan titik-titik tersebut, diperoleh grafik berikut.

Titik potong kedua garis adalah $(3,2)$. Jadi, himpunan penyelesaiannya:

4. Metode Substitusi

Metode substitusi dilakukan dengan menyatakan salah satu variabel ke dalam variabel yang lain, lalu menggantikannya ke persamaan kedua.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

Dari persamaan $(1)$:

Substitusikan $y=5-x$ ke persamaan $(2)$:

Substitusikan $x=2$ ke persamaan $(1)$:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

5. Metode Eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan menghilangkan salah satu variabel. Agar bisa dieliminasi, koefisien variabel yang dihilangkan harus sama atau dibuat sama terlebih dahulu.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

Jumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan variabel $y$:

Sehingga diperoleh:

Selanjutnya, eliminasi variabel $x$ dengan mengalikan persamaan kedua dengan 2:

Maka:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

6. Metode Campuran

Metode campuran merupakan gabungan antara metode eliminasi dan substitusi. Biasanya salah satu variabel dicari terlebih dahulu dengan eliminasi, lalu variabel lainnya diperoleh dengan substitusi.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

Samakan koefisien $x$ dengan mengalikan persamaan $(1)$ dengan 3 dan persamaan $(2)$ dengan 2:

Kurangkan kedua persamaan:

Sehingga:

Substitusikan ke persamaan $(1)$:

Jadi, himpunan penyelesaiannya:

7. Soal Cerita

Penyelesaian soal cerita yang berkaitan dengan SPLDV dilakukan dengan menyusun model matematika terlebih dahulu, kemudian menyelesaikan sistem persamaannya.

Contoh

Harga lima meja dan delapan kursi adalah Rp1.150.000,00, sedangkan harga tiga meja dan lima kursi adalah Rp700.000,00. Tentukan harga masing-masing meja dan kursi.

Misalkan:

• harga meja = $x$
• harga kursi = $y$

Maka diperoleh sistem persamaan:

Kalikan persamaan $(1)$ dengan 3 dan persamaan $(2)$ dengan 5:

Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:

Substitusikan $y=50.000$ ke persamaan $(2)$:

Jadi:

• harga meja = Rp150.000,00
• harga kursi = Rp50.000,00

Evaluasi

Setelah mempelajari materi SPLDV, kerjakan latihan berikut.

1. Jumlah dua bilangan adalah 28 dan selisihnya 12. Bilangan-bilangan tersebut adalah … A. 8 dan 20
   B. 10 dan 18
   C. 12 dan 16
   D. 14 dan 14

2. Umur Ali sekarang 30 tahun. Enam tahun yang lalu, umur Ali tiga kali umur Budi. Umur Budi sekarang adalah … A. 8 tahun
   B. 10 tahun
   C. 14 tahun
   D. 24 tahun

3. Perhatikan grafik berikut.

Persamaan linear yang memenuhi grafik tersebut adalah … A. $2x+3y=3$
B. $2x+y=9$
C. $2x+y=3$
D. $3x+y=2$

4. Himpunan penyelesaian dari persamaan $3x-2y=7$ dan $2x+y=14$ adalah $\{(a,b)\}$. Nilai $a+b=$ … A. 9
   B. 7
   C. 5
   D. 4

5. Di suatu perkebunan terdapat 13 ekor hewan yang terdiri dari ayam dan kambing. Jumlah kakinya 38. Banyak kambing di perkebunan tersebut adalah … A. 5 ekor
   B. 6 ekor
   C. 7 ekor
   D. 8 ekor

Demikian materi sistem persamaan linear dua variabel. Semoga bermanfaat.