SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Pendahuluan
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQYlXvMoMVjXO1IafzR1QxgZtpVZMB8nwuL0655-80spvNihXslZImwRqZV8Ny-JT6Zod5y1wPf1N0KtfNpfgiQl4Mgp970Cvk4q5ed-itGe47OR1hUR8PZnjpL6N2iMLBz7QStt7G9aQ/s590/SPLDV.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="287" data-original-width="590" height="157" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQYlXvMoMVjXO1IafzR1QxgZtpVZMB8nwuL0655-80spvNihXslZImwRqZV8Ny-JT6Zod5y1wPf1N0KtfNpfgiQl4Mgp970Cvk4q5ed-itGe47OR1hUR8PZnjpL6N2iMLBz7QStt7G9aQ/w320-h157/SPLDV.jpg" title="Sistem persamaan linear dua variabel" width="320" /></a>
<b>A. Kompetensi Dasar</b>
3.5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual.
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. B. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini diharapkan dapat :
- Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual.
-Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel.
C. Materi1. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)Perhatikan beberapa contoh persamaan berikut!a. $2x+2y=1$b. $\dfrac{m}{n}-\dfrac{n}{2}=5$c. $5p+6q= -20$
Dari contoh tersebut tampak bahwa persamaan (a), (b), dan (c) mempunyai dua variabel dan masing-masing dua variabel berpangkat satu. Variabel pada persamaan (a) adalah $x$ dan $y$, variabel pada persamaan (b) adalah $m$ dan $n$, sedangkan variabel pada persamaan (c) adalah $p$ dan $q$. Persamaan (a), (b), dan (c) adalah contoh persamaan linear dua variabel.
Penentuan solusi (penyelesaian) Persamaan Linear dua variabel PLDV) dapat dilakukan dengan cara menerka atau dengan melakukan operasi aljabar.
Contoh :
Tentukan solusi $(x, y)$ pada bilangan bulat non negatif yang memenuhi persamaan $4x+3y=12$
Penyelesaian :
$(x, y)$ bilangan bulat non negatif, berarti $(x, y)$ merupakan bilangan cacah.
Jika $x=0$ maka :
$4x+3y=12$
$0+3y=12$
$3y=12$
$y=4$, $4\in\mathbb{C}$
Jika $x=3$ maka : $4x+3y=12$ $4x3+3y=12$ $12+3y=12$
$y=0$, $0\in\mathbb{C}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$(0, 4), (3, 0)$}
2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua variabel adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear dua variabel dalam variabel yang sama.
<a><b>Bentuk umum :</b>
\(\left\{\begin{matrix} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2
\end{matrix}\right.\)
</a>
Contoh :
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa cara, yaitu metode grafik, metode substitusi, metode eliminasi serta gabungan metode sustitusi dan eliminasi.
a. Metode grafik
Penyelesaian dengan metode grafik dari SPLDV merupakan titik potong (persekutuan) antara dua garis yang menggambarkan 2 PLDV dalam koordinat kartesius.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $x+y=5$ dan $x-y=1$, untuk $x, y\in \mathbb{R}$ dengan metode grafik.
Penyelesaian :
Tentukan titik potong garis-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat terlebih dahulu seperti pada tabel berikut.
$x+y=5$
| x | 0 | 5 |
|---|---|---|
| y | 5 | 0 |
| (x, y) | (0, 5) | (5, 0) |
| x | 0 | 1 |
|---|---|---|
| y | -1 | 0 |
| (x, y) | (0, -1) | (1, 0) |
Berdasarkan koordinat titik potong yang diperoleh, maka grafiknya
adalah sebagai berikut :
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhly_1r-GLlXIWaAU22n1YCrSxpoe654t-aN5hJvTX3HUWQUwjjrxYkPVxCFunkbMutiH87xL0ggu3toddu-EYUnauUwDwa3HiVVJnPkMu8odYJS7voNN6lYxjULw8emBnemHgniSaEGdM/s463/spldv1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="430" data-original-width="463" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhly_1r-GLlXIWaAU22n1YCrSxpoe654t-aN5hJvTX3HUWQUwjjrxYkPVxCFunkbMutiH87xL0ggu3toddu-EYUnauUwDwa3HiVVJnPkMu8odYJS7voNN6lYxjULw8emBnemHgniSaEGdM/s320/spldv1.png" width="320" /></a>
Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (<span>3, 2). dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan <span>$x+y=5$ dan $x-y=1$, untuk $x, y\in\mathbb{R}$<span> adalah {$(3, 2)$}
<div class="tg-wrap">
<b>b. Metode substitusi (<span>Penggantian)</b>
<div class="tg-wrap">
Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan
metode substitusi adalah dengan cara menyatakan variabel yang satu
ke dalam variabel yang lain pada suatu persamaan.
<div class="tg-wrap"><b>Contoh :</b>
<div class="tg-wrap">
Gunakan metode substitusi untuk menentukan himpunan penyelesaian
dari sistem persamaan $5x+5y=25$ dan $3x+6y=24$ untuk $x,
y\in\mathbb{R}$!
<div class="tg-wrap"><b>Penyelesaian :</b>
<div class="tg-wrap">$5x+5y=25$...........$(1)$
<div class="tg-wrap">$3x+6y=24$...........$(2)$
<div class="tg-wrap">Perhatikan persamaan $(1)$
<div class="tg-wrap">
<div class="tg-wrap">\(\begin{array}{lllll}5x + 5y &=25&\Leftrightarrow
5y&=25-5x\\&&\Leftrightarrow y&=5-x\end{array}\)
<div class="tg-wrap">
Kemudian nilai $y$ ini disubstitusikan pada persamaan $(2)$ sehingga
diperoleh :
<div class="tg-wrap">
<div class="tg-wrap">\(\begin{array}{lclclcl}3x + 6y &= &24\Leftrightarrow 3x+6(5-x)&=&24\\
&&\Leftrightarrow 3x+30-6x&=&24\&&\Leftrightarrow 3x-6x&=&24-30\
&&\Leftrightarrow -3x&=&-6\&&\Leftrightarrow x&=&2\end{array}) 3x&=18\x&=6\end{aligned}}+)
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $2x+y=5$ dan
$3x-2y=11$, $x, y\in R$ dengan metode campuran. Penyelesaian : Dengan menyubstitusikan nilai $y=-1$ ke salah satu persamaan, misalkan
persamaan pertama, diperoleh :
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah {$(3,
-1)$} Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel Penyelesaian soal cerita yang berhubungan dengan sistem persamaan linear
dua variabel dapat dilakukan dengan menerjemahkannya dalam kalimat
matematika (model matematika)
terlebih dahulu, kemudian baru diselesaikan sistem persamaannya. Contoh : Harga lima buah meja dan delapan buah kursi adalah Rp
1.150.000,00;sedangkan harga tiga buah meja dan lima buah kursi adalah Rp
700.000,00. Tentukan harga masing-masing meja dan kursi! Penyelesaian : Misalkan harga meja =$x$ dan harga kursi =$y$ sehingga diperoleh persamaan
: Dengan menyubstitusikan nilai $y=50.000$ ke salah satu persamaan,
misalkan persamaan kedua, diperoleh : Jadi, harga meja adalah Rp 150.000,00 dan harga kursi adalah Rp
50.000,00 D. Evaluasi Setelah mempelajari materi persamaan linear dua variabel, silahkan kerjakan
latihan berikut untuk mengetahui pemahaman tentang materi tersebut. A. 8 dan 20 B. 10 dan 18 C. 12 dan 16 D. 14 dan 14 A. 8 tahun B. 10 tahun C. 14 tahun D. 24 tahun Persamaan linear yang memenuhi grafik tersebut adalah … A. $2x+3y=3$ B. $2x+y=9$ C. $2x+y=3$ D. $3x+y=2$ A. 9 B. 7 C. 5 D. 4 A. 5 ekor B. 6 ekor C. 7 ekor D. 8 ekor Demikian materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel yang dapat kami
bagikan. Semoga bermanfaat. Terima kasih 😊🙏.<div class="tg-wrap">
<b>c. Metode eliminasi (<span>Pelenyapan)</b>
<div class="tg-wrap">
Metode eliminasi dilakukan dengan cara mengeliminasi (<span>melenyapkan)
salah satu variabel dan variabel yang akan dieliminasi harus
mempunyai koefisien yang sama. Jika koefisien variabel tidak sama
maka harus mengalikan salah satu persamaan dengan suatu konstanta
sehingga ada variabel yang mempunyai koefisien yang sama.
<div class="tg-wrap">
<b>Contoh :</b>
<div class="tg-wrap">
Diketahui suatu persamaan $2x+y=8$ dan $x-y=10$ dengan $x,
y\in\mathbb{R}$. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan
tersebut dengan metode eliminasi!
<div class="tg-wrap">
<b>Penyelesaian :</b>
<div class="tg-wrap">
Dari kedua persamaan tersebut, koefisien yang sama adalah variabel
$y$ maka variabel $y$ yang akan dieliminasi dengan cara dijumlahkan.
Dengan demikian diperoleh nilai $x$ sebagai berikut.
\(\frac{\begin{aligned}2x+y&=8\\x-y&=10\end{aligned}}{\begin{aligned}
<b>Catatan :</b>
Sistem persamaan linear juga dapat diselesaikan menggunakan metode
gabungan dari substitusi dan dan eliminasi. Metode ini disebut
<i>metode campuran. </i>Caranya : Selesaikan SPLDV dengan menggunakan
metode eliminasi, kemudian lanjutkan dengan menggunakan metode
substitusi.<i> </i>
