PERSAMAAN GARIS LURUS

Pendahuluan

Kompetensi Dasar

3.4 Menganalisis fungsi linear sebagai persamaan garis lurus dan menginterpretasikan grafiknya dalam masalah kontekstual.

4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi linear sebagai persamaan garis lurus.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, peserta didik diharapkan dapat:

1. menganalisis fungsi linear dan grafiknya,
2. menentukan gradien garis lurus,
3. menentukan hubungan dua garis dari gradiennya,
4. menyusun persamaan garis lurus dari informasi yang diberikan.

Materi

1. Grafik Persamaan Garis Lurus

Perhatikan grafik berikut.

Pada persamaan $y = 2x$ dan $y = 2x + 1$, koefisien $x$ adalah 2. Nilai ini menunjukkan perbandingan perubahan komponen $y$ terhadap perubahan komponen $x$. Nilai itu disebut gradien atau kemiringan garis.

Jika gradien dinotasikan dengan $m$, maka bentuk umum persamaan garis lurus adalah:

dengan:

• $m$ = gradien,
• $c$ = konstanta.

Contoh persamaan garis lurus:

1. $y = 3x - 4$
2. $2x - 3y - 5 = 0$

Untuk menggambar grafik $y = mx + c$:

1. tentukan titik potong dengan sumbu $x$,
2. tentukan titik potong dengan sumbu $y$,
3. hubungkan kedua titik tersebut.

Contoh

Gambarlah grafik persamaan:

Titik potong dengan sumbu $x$ diperoleh saat $y = 0$:

Jadi titik potong dengan sumbu $x$ adalah $(2,0)$.

Titik potong dengan sumbu $y$ diperoleh saat $x = 0$:

Jadi titik potong dengan sumbu $y$ adalah $(0,6)$.

2. Menentukan Gradien Garis Lurus

Gradien menunjukkan derajat kemiringan suatu garis terhadap sumbu $x$ dan biasanya dinotasikan dengan $m$.

A. Gradien garis melalui titik pusat $(0,0)$ dan titik $(x_1,y_1)$

Rumus gradiennya:

B. Gradien garis yang memotong sumbu $x$ di $(b,0)$ dan sumbu $y$ di $(0,a)$

Rumus gradiennya:

C. Gradien garis melalui dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$

Rumus gradien:

Contoh

Tentukan gradien garis melalui titik $A(-1,3)$ dan $B(7,-5)$.

Simulasi Gradien

Gunakan simulasi berikut untuk memahami perubahan gradien secara visual.

3. Hubungan Dua Garis dari Gradiennya

A. Garis-garis sejajar

Dua garis sejajar mempunyai gradien yang sama.

Contoh:

1. Garis melalui $(1,6)$ dan $(3,2)$
2. Garis melalui $(2,-9)$ dan $(-3,1)$

Gradien garis pertama:

Gradien garis kedua:

Karena $m_1 = m_2$, kedua garis sejajar.

B. Garis-garis tegak lurus

Dua garis saling tegak lurus jika:

Contoh:

1. Garis melalui $(0,-8)$ dan $(3,1)$
2. Garis melalui $(-3,3)$ dan $(6,0)$

Gradien garis pertama:

Gradien garis kedua:

Karena:

maka kedua garis tegak lurus.

4. Membuat Persamaan Garis Lurus

A. Melalui satu titik dan gradien $m$

Jika garis melalui titik $(x_1,y_1)$ dan memiliki gradien $m$, maka:

Contoh

Tentukan persamaan garis yang memiliki gradien 3 dan melalui titik $(-2,5)$.

Jadi persamaan garisnya:

B. Melalui dua titik

Jika garis melalui titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$, maka:

atau:

Contoh

Tentukan persamaan garis melalui titik $(10,3)$ dan $(2,7)$.

Jadi persamaan garisnya:

Evaluasi

Kerjakan soal berikut untuk menguji pemahamanmu.

1. Tentukan gradien garis pada gambar berikut.

2. Garis yang melalui titik $P(2,y)$ dan $Q(5,7)$ memiliki gradien $-1$. Tentukan nilai $y$.
3. Garis $g$ tegak lurus garis melalui $P(0,7)$ dan $Q(2,1)$. Tentukan gradien garis $g$.
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik $(1,2)$ dan tegak lurus garis $3x+4y=8$.
5. Tentukan persamaan garis yang memiliki gradien $\frac{2}{3}$ dan melalui titik $(-6,-5)$.