Bilangan Bulat

A. Pengantar

Bilangan bulat digunakan untuk menyatakan banyak keadaan sehari-hari, misalnya suhu, ketinggian, laba-rugi, atau posisi pada garis bilangan. Pada termometer, suhu di bawah nol ditulis dengan bilangan negatif, sedangkan suhu di atas nol ditulis dengan bilangan positif.

• Bilangan bulat negatif berada di sebelah kiri nol.
• Nol berada di tengah.
• Bilangan bulat positif berada di sebelah kanan nol.

Contoh bilangan bulat: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

B. Definisi

Bilangan bulat adalah himpunan yang terdiri atas bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Notasi himpunan bilangan bulat adalah:

Pada garis bilangan, semakin ke kanan nilainya semakin besar. Karena itu, untuk membandingkan dua bilangan bulat digunakan tanda < dan >.

Contoh:

C. Operasi Hitung Bilangan Bulat

1. Penjumlahan

Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat:

• Tertutup: hasil penjumlahan dua bilangan bulat selalu bilangan bulat.
  Contoh: $-8 + 5 = -3$
• Komutatif: $a + b = b + a$
  Contoh: $5 + 4 = 4 + 5$
• Asosiatif: $(a + b) + c = a + (b + c)$
• Memiliki unsur identitas: $a + 0 = 0 + a = a$
• Memiliki invers: $a + (-a) = 0$

2. Pengurangan

Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat:

• Tertutup: hasil pengurangan dua bilangan bulat tetap bilangan bulat.
• Tidak komutatif: $a - b \ne b - a$
• Tidak asosiatif: $(a - b) - c \ne a - (b - c)$
• Berlaku hubungan:

3. Perkalian

Sifat-sifat perkalian bilangan bulat:

• Tertutup: hasil perkalian dua bilangan bulat tetap bilangan bulat.
• Komutatif: $a \times b = b \times a$
• Asosiatif: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
• Memiliki unsur identitas: $a \times 1 = 1 \times a = a$
• Distributif:

4. Pembagian

Sifat-sifat pembagian bilangan bulat:

• Tidak tertutup: hasil pembagian belum tentu bilangan bulat.
  Contoh: $\dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$
• Tidak komutatif: $\dfrac{a}{b} \ne \dfrac{b}{a}$
• Tidak asosiatif
• Pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

D. Operasi Hitung Campuran

Dalam operasi hitung campuran, gunakan aturan berikut:

1. Kerjakan operasi di dalam tanda kurung terlebih dahulu.
2. Perkalian dan pembagian dikerjakan sebelum penjumlahan dan pengurangan.
3. Untuk operasi yang setingkat, hitung dari kiri ke kanan.

E. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Hasil dari $-15 + (-12 : 3)$ adalah

   $$-15 + (-12 : 3) = -15 + (-4) = -19$$

2. Hasil dari $(-18 + 30) : (-3 - 1)$ adalah

   $$(12) : (-4) = -3$$

3. Jika $a=6$, $b=-10$, dan $c=-2$, maka nilai dari $a + c - 3b$ adalah

   $$\begin{aligned} a + c - 3b &= 6 + (-2) - 3(-10)\\ &= 6 - 2 + 30\\ &= 34 \end{aligned}$$

4. Diketahui $p=-36$, $q=-9$, dan $r=8$. Nilai dari $-p : q - r$ adalah

   $$\begin{aligned} -p : q - r &= -(-36) : (-9) - 8\\ &= 36 : (-9) - 8\\ &= -4 - 8\\ &= -12 \end{aligned}$$

5. Suhu ruang kelas adalah $32^\circ$C. Suhu ruang kantor yang memakai AC $11^\circ$C lebih rendah. Berarti suhu ruang kantor:

   $$32^\circ\text{C} - 11^\circ\text{C} = 21^\circ\text{C}$$

6. Katrol berada $2$ meter di atas permukaan tanah, sedangkan permukaan air $6$ meter di bawah permukaan tanah. Panjang tali dari permukaan air ke katrol adalah:

   $$2 - (-6) = 2 + 6 = 8$$

   Jadi panjang talinya $8$ meter.

F. Simulasi GeoGebra

Berikut simulasi penjumlahan bilangan bulat. Gunakan simulasi ini untuk membantu memahami operasi hitung bilangan bulat.

G. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji pemahamanmu.

1. Nilai dari $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots + 9 - 10$ adalah

   • A. $-5$
   • B. $-2$
   • C. $0$
   • D. $3$

2. Nilai $p$ yang memenuhi $15 : (p + 1) = -3$ adalah

   • A. $-7$
   • B. $-6$
   • C. $4$
   • D. $5$

3. Dalam suatu tes, jawaban benar diberi nilai $4$, jawaban salah diberi nilai $-2$, dan soal yang tidak dijawab diberi nilai $0$. Dari $25$ soal, Andika menjawab benar $18$ soal, salah $5$ soal, dan sisanya tidak dijawab. Nilai Andika adalah

   • A. $60$
   • B. $61$
   • C. $62$
   • D. $63$

4. Hasil dari $5 \times (17 + (-13))$ adalah

   • A. $98$
   • B. $91$
   • C. $85$
   • D. $72$

5. Jika suhu mula-mula suatu objek $5$ derajat, kemudian turun $12$ derajat, maka suhu akhir objek tersebut adalah

   • A. $-4$
   • B. $-5$
   • C. $-6$
   • D. $-7$

Kunci jawaban

1. A, karena $(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+(9-10)=-1-1-1-1-1=-5$
2. B, karena $15:(p+1)=-3 \Rightarrow p+1=-5 \Rightarrow p=-6$
3. C, karena $(18 \times 4) + (5 \times -2) = 72 - 10 = 62$
4. D, karena $5 \times 4 = 20$
5. D, karena $5 - 12 = -7$

Jika masih mengalami kesulitan, pelajari kembali contoh-contoh di atas dan diskusikan dengan guru atau temanmu.

H. Evaluasi

Latihan interaktif untuk materi ini tersedia pada sumber aslinya. Pada versi blog ini, bagian evaluasi interaktif tidak ditampilkan karena kode impor lamanya tidak lagi stabil untuk dirender.

Penutup

Demikian pembahasan singkat tentang bilangan bulat. Dengan memahami letak bilangan pada garis bilangan dan aturan operasi hitungnya, kamu akan lebih mudah mengerjakan soal-soal aritmetika dasar. Semoga bermanfaat.