Banyak masalah sehari-hari dapat diselesaikan dengan fungsi kuadrat, yaitu dengan menyusunnya terlebih dahulu ke dalam model matematika. Setelah model itu diperoleh, penyelesaian masalah bisa dicari secara sistematis.
Jumlah dua bilangan bulat adalah 20. Tentukan hasil kali terbesar dari kedua bilangan tersebut.
Misalkan kedua bilangan itu adalah x x x y y y
Karena jumlahnya 20, maka:
x + y = 20
x+y=20
x + y = 20 atau:
y = 20 − x
y=20-x
y = 20 − x Jika hasil kali kedua bilangan dinyatakan sebagai fungsi f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = x ⋅ y = x ( 20 − x ) = 20 x − x 2
\begin{aligned}
f(x) &= x \cdot y \\
&= x(20-x) \\
&= 20x-x^2
\end{aligned}
f ( x ) = x ⋅ y = x ( 20 − x ) = 20 x − x 2 Nilai maksimum fungsi kuadrat itu adalah:
f maks = − b 2 − 4 a c 4 a = − 20 2 − 4 ( − 1 ) ( 0 ) 4 ( − 1 ) = − 400 − 4 = 100
\begin{aligned}
f_{\text{maks}} &= \frac{-b^2-4ac}{4a} \\
&= \frac{-20^2-4(-1)(0)}{4(-1)} \\
&= \frac{-400}{-4} \\
&= 100
\end{aligned}
f maks = 4 a − b 2 − 4 a c = 4 ( − 1 ) − 2 0 2 − 4 ( − 1 ) ( 0 ) = − 4 − 400 = 100 Jadi, hasil kali terbesar kedua bilangan tersebut adalah 100 .
Sebuah roket ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi roket setelah t t t
h ( t ) = 60 t − 5 t 2
h(t)=60t-5t^2
h ( t ) = 60 t − 5 t 2 Berapakah tinggi maksimum yang dapat dicapai roket?
Diketahui:
h ( t ) = 60 t − 5 t 2 , a = − 5 , b = 60 , c = 0
h(t)=60t-5t^2,\quad a=-5,\quad b=60,\quad c=0
h ( t ) = 60 t − 5 t 2 , a = − 5 , b = 60 , c = 0 Tinggi maksimum terjadi saat:
t = − b 2 a = − 60 2 ( − 5 ) = − 60 − 10 = 6
\begin{aligned}
t &= \frac{-b}{2a} \\
&= \frac{-60}{2(-5)} \\
&= \frac{-60}{-10} \\
&= 6
\end{aligned}
t = 2 a − b = 2 ( − 5 ) − 60 = − 10 − 60 = 6 Tinggi maksimumnya:
h maks = b 2 − 4 a c − 4 a = 60 2 − 4 ( − 5 ) ( 0 ) − 4 ( − 5 ) = 3600 20 = 180
\begin{aligned}
h_{\text{maks}} &= \frac{b^2-4ac}{-4a} \\
&= \frac{60^2-4(-5)(0)}{-4(-5)} \\
&= \frac{3600}{20} \\
&= 180
\end{aligned}
h maks = − 4 a b 2 − 4 a c = − 4 ( − 5 ) 6 0 2 − 4 ( − 5 ) ( 0 ) = 20 3600 = 180 Jadi, tinggi maksimum roket adalah 180 meter .
Sebuah persegi panjang mempunyai keliling 120 cm. Tentukan ukurannya agar luasnya maksimum.
Misalkan panjang persegi panjang adalah x x x
panjang + lebar = 1 2 × keliling x + lebar = 1 2 × 120 x + lebar = 60 lebar = 60 − x
\begin{aligned}
\text{panjang} + \text{lebar} &= \frac{1}{2}\times \text{keliling} \\
x + \text{lebar} &= \frac{1}{2}\times 120 \\
x + \text{lebar} &= 60 \\
\text{lebar} &= 60-x
\end{aligned}
panjang + lebar x + lebar x + lebar lebar = 2 1 × keliling = 2 1 × 120 = 60 = 60 − x Luas persegi panjang dinyatakan dengan:
L ( x ) = panjang × lebar = x ( 60 − x ) = 60 x − x 2
\begin{aligned}
L(x) &= \text{panjang}\times \text{lebar} \\
&= x(60-x) \\
&= 60x-x^2
\end{aligned}
L ( x ) = panjang × lebar = x ( 60 − x ) = 60 x − x 2 Dari fungsi itu diperoleh a = − 1 a=-1 a = − 1 b = 60 b=60 b = 60 c = 0 c=0 c = 0
Sumbu simetrinya:
x = − b 2 a = − 60 2 ( − 1 ) = − 60 − 2 = 30
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\
&= \frac{-60}{2(-1)} \\
&= \frac{-60}{-2} \\
&= 30
\end{aligned}
x = − 2 a b = 2 ( − 1 ) − 60 = − 2 − 60 = 30 Luas maksimumnya:
L ( 30 ) = 60 ( 30 ) − ( 30 ) 2 = 1800 − 900 = 900
\begin{aligned}
L(30) &= 60(30)-(30)^2 \\
&= 1800-900 \\
&= 900
\end{aligned}
L ( 30 ) = 60 ( 30 ) − ( 30 ) 2 = 1800 − 900 = 900 Jadi:
Panjang = 30 cm Lebar = 60 − 30 = 30 cm
\begin{aligned}
\text{Panjang} &= 30 \text{ cm} \\
\text{Lebar} &= 60-30=30 \text{ cm}
\end{aligned}
Panjang Lebar = 30 cm = 60 − 30 = 30 cm Ukuran persegi panjang dengan luas maksimum adalah 30 cm × 30 cm .
Untuk membantu memahami contoh soal di atas, silakan pelajari video berikut.
VIDEO Demikian contoh soal dan pembahasan aplikasi fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.
